Система уравнений с параметром

[stedent076]

Найти все значения параметра $a$, при которых каждом и которым система уравнений имеет два различных решения:

$$ \begin{cases} ax+2ay-a^2-2xy+2=0\\ 8ax+4ay+7a^2-4x^2-4y+20a=0 \end{cases} $$

В подобных задачах, встречавшихся мне раньше, нужно было просто выделить полные квадраты в обоих уравнениях системы, придя к каноничному уравнению окружности, но тут этого сделать не получается (хотя может быть я просто не увидел). Сложение уравнений тоже ничего не дало.
Каким же должен быть первый шаг в решении задачи?

[Brukvalub]

Для начала, проверьте еще раз, правильно ли вы записали сюда систему.

[alcoholist]

Осторожно выразите $y$ из обоих уравнений и приравняйте.

[stedent076]

Brukvalub
Проверил – правильно

[stedent076]

alcoholist
у меня получилось
$\dfrac{a^2-ax-2}{2a-2x}=\dfrac{4x^2-8ax-20a}{4a-4}$
Что можно сделать дальше?
Brukvalub, может Вы дадите какой-нибудь умный совет?

[ShMaxG]

stedent076
А ответ случаем не $a=1$?

Заметьте, что первое уравнение задает гиперболу, а второе -- параболу (если $a\ne1$). Поэтому естественная мысль -- привести уравнения для этих кривых к более привычным формам. Первое уравнение равносильно

$${\left( {x - a} \right)\left( {y - \frac{a}{2}} \right) = 1}$$

Сделайте замену переменных $p=x-a$, $q=y-a/2$, и рассмотрите второе уравнение относительно $p,q$.

[stedent076]

ShMaxG
Не, $a=-2$ и $a=-\dfrac{1}{3}$
Спасибо!Сейчас попробую.)

[ShMaxG]

stedent076
Как это? Вот же при $a=1$ два различных решения: https://www.wolframalpha.com/input/?i=8 ... *y%2B2%3D0

-- Ср июн 08, 2016 14:54:28 --

А вот при $a=-2$ три различных решения: https://www.wolframalpha.com/input/?i=- ... *y%2B2%3D0

[stedent076]

ShMaxG
Не знаю, если честно. Это задачка №46 из книги Э. Балаяна "Математика.Задачи типа 20". Может опечатка в ответах

[ShMaxG]

Ну я не уверен, что при $a\ne 1$ нет решений, просто сам путь решения, который я предложил, способствует некоторому последовательному анализу, простого с геометрической точки зрения. Но ответы, которые вы предлагаете, явно не подходят

[stedent076]

ShMaxG
Дело в том, что я первый раз встречаюсь с подобной записью гепирболы. Что Вы посоветуете почитать про геометрию гиперболы?

[ShMaxG]

Ничего не надо читать. После замены, которую я вам предложил, вы получаете $pq=1$, или $q=1/p$. Чем не гипербола?

[stedent076]

ShMaxG
Я правильно преобразовал первое уравнение в $\dfrac{pq}{2}+2+0$?

[ShMaxG]

stedent076
Нет, я же написал

ShMaxG в сообщении #1130010 писал(а):

После замены, которую я вам предложил, вы получаете $pq=1$

[stedent076]

ShMaxG
никак не получается преобразовать второе уравнение, используя предложенную Вами замену