Задачи вариационного исчисления с неизвестными параметрами

[Sh@dow777]

Привет всем.
Собственно, вопрос такой. Как решать задачи вариационного исчисления с неизвестными параметрами?
Вот, допустим, простейшая задача:
$\int\limits_{0}^{T}\sin(x')dt$, $x(0)=0$, $x(T)=\xi$

Решение уравнения Эйлера найти легко. Допустимую экстремаль тоже. Но что делать с неизвестными параметрами? Вариант "считать их за константы" не подходит. Как их найти? Методом подбора или какие-то числа подставлять?

Заранее спасибо.

[Brukvalub]

Судя по всему, вы принимаете за "неизвестные параметры" "подвижные концы".
Алгоритм решения задачи с подвижными концами можно найти, например, здесь.

[Sh@dow777]

Brukvalub, Нет, это не задача с подвижными концами.
Эту методичку я читал. Мне нужно решить 3 задачи: простейшую задачу классического вариационного исчисления, задачу Больца, и изопериметрическую задачу. Во всех 3-х задачах присутсвует этот параметр Т.

В предыдущем посте я написал простейшую задачу, которую мне нужно решить. Экстремаль я нашел, а что с этими двумя параметрами делать, не знаю...

[Sh@dow777]

Вопрос ещё в силе.
Кто-нибудь подскажет мне, что дальше делать?
Просто сами экстремали легко ведь найти в задачах. Но с этими параметрами я вошёл в ступор.

[Sh@dow777]

На всякий случай, еще раз напишу, так как до сих пор не разобрался.
Напишу свое решение этой задачи. Уравнение Эйлера:
$-\cos(x'')=0$
Решение уравнения:
$x=\frac{\pi t^2}{4}+C_1 t+C_2$
Нашел коэффициенты:
$C_2 = 0$
$C_1 = \frac{T(4\xi-\pi T^2)}{4}$
Допустимая экстремаль:
$y=\frac{\pi t^2 + Tt(4\xi-\pi T^2)}{4}$

В задачнике написано, что задачи, содержащие параметры $T > 0$ и $\xi$, необходимо решить при всех возможных значениях параметров. Что это значит? Как найти эти параметры?

[Brukvalub]

Задача: при всех значениях параметра $a$ решить уравнение $ax=1$.
Вопрос: как в такой задаче найти этот параметр?

[Sh@dow777]

Brukvalub
Ну выразить через x. То есть, a = 1/x.
А x = 1/a. То есть, a не может быть равен только нулю. Тогда решений нет.

Просто я к тому, что исходя от того, что параметры могут быть разными, то и экстремалей может быть несколько, а не одна. А может вообще не быть. Вот как это выяснить?
А судя по тому, что в моей задаче эти параметры в числителе, то они могут быть равны чему угодно(кроме T, которое должно быть строго больше нуля).

[Brukvalub]

Sh@dow777 в сообщении #1129889 писал(а):

Brukvalub
Ну выразить через x. То есть, a = 1/x.

Нет, параметр не может зависеть от неизвестной величины. Вы сначала найдите параметр, а уж потом - неизвестную!

[mihiv]

Sh@dow777, уравнение Эйлера записано неправильно.

[Toucan]

Sh@dow777 в сообщении #1129889 писал(а):

Ну выразить через x. То есть, a = 1/x.
А x = 1/a.

Sh@dow777, повторное замечание за неправильное оформление формул.

[Sh@dow777]

Brukvalub
Да я ж говорю, что параметр не может быть найден без дополнительных условий. Например, $a + 1 = 2$. Тогда $a = 1$ и $x = 1$.

А так, он может быть равен чему-угодно, кроме нуля. И x может быть тоже равен чему-угодно. Будет $a = 2$, тогда $x = \frac{1}{2}$. Будет $a = \frac{1}{3}$, тогда $x = 3$, и т.д. Вот я о чем.

И в моей задаче так же. Параметры могут быть равны чему-угодно, и экстремалей может быть сколько угодно. И дополнительных условий тоже нет, чтоб точно найти эти параметры. Поэтому я и написал на форум, потому что я, блин, запутался Извините...

mihiv
Да? Так вроде производная от синуса равна косинусу, и перед косинусом минус нужно поставить. Где я ошибся тогда?

Toucan
Я извиняюсь.

[Brukvalub]

Sh@dow777 в сообщении #1129942 писал(а):

Параметры могут быть равны чему-угодно, и экстремалей может быть сколько угодно. И дополнительных условий тоже нет, чтоб точно найти эти параметры. Поэтому я и написал на форум, потому что я, блин, запутался

Вы правы, в задачах с параметрами ответ является функцией параметров. Вот и здесь в ответ в качестве аргументов входит не только переменная, от которой зависит функция, но и параметры, и найти эти параметры нельзя, они просто являются аргументами функции в ответе.

Sh@dow777 в сообщении #1129942 писал(а):

mihiv
Да? Так вроде производная от синуса равна косинусу, и перед косинусом минус нужно поставить. Где я ошибся тогда?

Вы ошиблись в дифференцировании сложной функции. Напишите уравнение Эйлера-Лагранжа и по шагам опишите свои действия при реализации этого уравнения в задаче.

[Sh@dow777]

Brukvalub
Наконец, я понял, что ответ должен быть таким, какой он есть, не находя параметры. Спасибо!

Но дело в том, что препод не принимает этот ответ. Говорит, что необходимо исследовать зависимость решения от параметров: решение может быть единственным при всех значениях, может не существовать в некотором диапазоне изменения параметров или может существовать несколько решений.
Вот этого я не пойму, судя по тому, что параметры могут быть равны чему-угодно.

Насчёт уравнения Эйлера...получается, вот так должно быть $-x''\cos(x')=0$?

[Brukvalub]

Sh@dow777 в сообщении #1130109 писал(а):

Насчёт уравнения Эйлера...получается, вот так должно быть $-x''\cos(x')=0$?

Brukvalub в сообщении #1129944 писал(а):

Напишите уравнение Эйлера-Лагранжа и по шагам опишите свои действия при реализации этого уравнения в задаче.

[alcoholist]

Sh@dow777
уже запишите уравнение Эйлера!
А задание

Sh@dow777 в сообщении #1130109 писал(а):

исследовать зависимость решения от параметров

подразумевает примерно следующий ответ: "если $\xi$ и $T$ такие-то, то решение дается такой-то формулой; а если другие-то, то вот такой формулой"