Контурное интегрирование

[spline_2009]

Помогите доказать с помощью контурного интегрирования
$v.p.\int\limits_{-1}^{1}\frac{\sqrt{1-t^2}}{t-x}\frac{dt}{1+t^2}=-\pi\sqrt{2}\frac{x}{1+x^2},\ x\in(-1,1)$
Если можете, посоветуйте литературу с разобранными примерами на применение контурного интегрирования для вычисления определенных интегралов

[DeBill]

spline_2009
Литература: ну, например, Лаврентьев, Шабат, "Методы ТФКП"...
Про Вашу задачу: Область - круг большого радиуса с дыркой. Дырка: надо удалить отрезок $[-1,1]$, и три круга малого радиуса с центрами в точках $-1,1$ и $x$. Внимание:
1. Функция Ваша - многозначна, но в указанной области у нее есть однозначная ветвь
2. Граница области - из двух связных кусков: большой окружности, и хитрой кривульки.
3. На большой окружности функцию надо оценить, и показать, что интегралы по ней стремятся к 0 при росте ейного радиуса.
4. Хитрая кривулька состоит из: отрезка из $-1 + \varepsilon $ до $x-\varepsilon$, идущего "сверху" от действительной оси; верхней полуокружности с центром в $x$; отрезка от $x+ \varepsilon$ до $1-\varepsilon$ "сверху"; окружности с центром в точке $1$; отрезка "снизу", полуокружности, отрезка "снизу", окружности...
5. Как связаны интегралы по "верхним "и "нижним" отрезкам?
6. И последнее: будьте аккуратны при счете вычетов: не забывайте про ветви корня ...
7. И самое последнее: аккуратнее с пределами при $\varepsilon\to 0$ по полуокружностям! (с окружностями - можно и не аккуратно).
8. И совсем самое последнее : 6+7