Уравнение в натуральных числах

[Ktina]

Решите в натуральных числах уравнение $(m+1)!+(n+1)!=m^2n^2$
(С. Мазаник, Белоруссия, 2009)
Источник задачи: http://webcache.googleusercontent.com/s ... clnk&gl=il

Опять я чего-то не понимаю?
Очевидно, ни $m$, ни $n$ не могут быть больше 4, иначе сумма факториалов будет слишком велика.
Но в таком случае остаётся перебрать не такое уж и большое количество вариантов.
Слишком хорошо, чтобы быть правдой.

Пожалуйста, помогите решить.
Заранее спасибо!

P.S.

(Оффтоп)

Да и Белоруссии в 2009г. уже не было, была Республика Беларусь.

[Mikhail_K]

Ktina в сообщении #1128894 писал(а):

Очевидно, ни $m$, ни $n$ не могут быть больше 4, иначе сумма факториалов будет слишком велика.

Да, верно.

[Ktina]

Mikhail_K
Спасибо.

-- 04.06.2016, 17:45 --

Можно даже не перебирать все варианты.
Если одно из чисел $m$ или $n$ равно 3, то произведение квадратов в правой части уравнения кратно 9, а один из факториалов в левой части равен 24, то есть даёт остаток 6 при делении на 9. Но тогда второй факториал может быть равен только 120, откуда получаем два решения: (3, 4), (4, 3).

Если же ни одно из неизвестных не равно 3, то произведение квадратов в правой части даёт остаток 1 при делении на 3.
Однако сумма двух факториалов натуральных чисел, больших 1, может давать остаток 1 при делении на 3 лишь в одном случае - если оба эти числа являются двойками. Тогда оба неизвестных должны быть равны 1, но такое решение нам не подходит.

Итак, уравнение имеет ровно два решения.