Норма линейного оператора

[Antonij]

Почему в одних учебниках пишется, что норма линейного оператора равна минимуму, а в других, что инфимуму от множества

$ \{M\geq 0:\| Ax\|<M\| x\|, \forall x\in X\}$

Самому как-то сложно представить достигается минимум или нет.
Но если действительно всегда достигается, то инфимум писать тоже не корректно.

[dsge]

Пространства бывают конечномерные и бесконечномерные.

[alcoholist]

Antonij в сообщении #1128722 писал(а):

Но если действительно всегда достигается, то инфимум писать тоже не корректно.

как раз корректно... минимум же является нижней гранью

[Antonij]

Правильно, но не корректно :) Все-таки надо стремится к простоте.

Не могу найти, где я видел определение нормы через минимум. На руках только левый учебник и там речь идёт просто о нормированных пространствах и написан min. Значит ошибка?

[provincialka]

Хм... какое-то странное понимание "корректности". Некорректное!

[Antonij]

Ну вот, например

https://books.google.ee/books?id=4hIq6E ... &q&f=false

-- 04.06.2016, 02:20 --

Ну а вот, например, ответ в задаче должен быть 2, а написано 6/3. Это корректно?

[Mikhail_K]

Antonij в сообщении #1128722 писал(а):

Почему в одних учебниках пишется, что норма линейного оператора равна минимуму, а в других, что инфимуму от множества

Правильно - инфимуму. Укажите, в каких учебниках пишется, что минимуму.

[Antonij]

Смотрите ссылку выше. Где-то ещё видел, никак не могу найти.

[provincialka]

Ссылка не показывает... "Либо эта страница недоступна для просмотра, либо вы достигли ограничения на просмотр этой книги".

[Antonij]

:( Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide, страница 229

[g______d]

В определении нужно заменить "$<$" на "$\leqslant$", иначе такого $M$ просто не существует (поскольку бывает $x=0$).

А что минимум, что инфимум, -- без разницы, совершенно очевидно, что он достигается.

[Antonij]

Да неравенство должно быть нестрогое.

[Mikhail_K]

g______d в сообщении #1128738 писал(а):

А что минимум, что инфимум, -- без разницы, совершенно очевидно, что он достигается.

И даже в бесконечномерных пространствах? Ого!
А в теме нигде не сказано, что пространства, в которых действует оператор, конечномерные.

[Otta]

Mikhail_K в сообщении #1128740 писал(а):

И даже в бесконечномерных пространствах?

Инфимум (минимум) по $c$ ищется. На числовой прямой. В одномерном пространстве. Множество - ограничено снизу, замкнуто. Ну и непусто.

[Antonij]

Последовательность 1/n тоже ограничена снизу и тоже на числовой прямой, а минимума нет. Здесь, наверно, также может возникнуть такого рода множество.