Поглощение черной дырой реликтового излучения

[Mathew Rogan]

Столкнулся с проблемой при количественной оценке процесса поглощения чёрной дырой реликтового излучения.

Рассмотрим невращающуюся незаряженную чёрную дыру массы $M$. Будем считать её достаточно массивной, так чтобы можно было пренебречь хокинговским испарением. Мощность поглощаемого реликтового излучения рассчитаем по закону Стефана — Больцмана:
$P = S \cdot \sigma T^4$, где $S$ — площадь горизонта событий. Температуру реликтового излучения для простоты пока будем полагать независящей от времени.

Площадь горизонта событий равна:
$S = 4 \pi R^2 = 4 \pi (\frac{2GM}{c^2})^2 = \frac{16\pi^2 G^2 M^2}{c^4} $, где $R$ — радиус Шварцшильда.

Тогда мощность равна:
$P =\frac{16\pi^2 \sigma G^2 T^4}{c^4} M^2. $

Мощность свяжем с приростом массы:
$ P = \frac{dE}{dt} = c^2 \frac{dM}{dt}. $

Получим, что:
$ \frac{dM}{dt} = \frac{16\pi^2 \sigma G^2 T^4}{c^6} M^2 = \alpha M^2. $

Интегрируем:
$\int\limits_{M_0}^{M}\frac{dM}{M^2} = \int\limits_{0}^{t}\alpha dt.$

$\frac{1}{M_0} - \frac{1}{M} = \alpha t; $

В итоге зависимость массы от времени имеет вид:
$M(t) = \frac{M_0}{1 - \alpha M_0 t.} $

Из формулы видно, что по прошествии времени $\tau = \frac{1}{\alpha M_0}$ масса чёрной дыры обратится в бесконечность, а дальше вообще станет отрицательной.

Как физически интерпретировать такой результат?

[12d3]

Mathew Rogan в сообщении #1128227 писал(а):

что по прошествии времени $\tau = \frac{1}{\alpha M_0}$ масса чёрной дыры обратится в бесконечность

Прикиньте, сколько это будет по порядку величины. И можно ли на таком масштабе считать температуру реликтового излучения постоянной.

[Pphantom]

Mathew Rogan в сообщении #1128227 писал(а):

Как физически интерпретировать такой результат?

Давайте посчитаем. В единицах СГС Ваш коэффициент $\alpha \approx 3 \cdot 10^{-78}$. Если мы возьмем в качестве характерной массы ЧД массу Солнца ($\approx 2 \cdot 10^{33}$ г, то характерное время найденного Вами процесса $\tau \sim 10^{37}$ лет. Очевидно, что пренебрегать изменением температуры реликтового излучения и даже хокинговским испарением ЧД (не говоря уж о куче других, куда более значимых факторов) на таких временах нельзя.

[Munin]

У чёрной дыры есть плотность массы - это $M/(r_g)^3=M/(2GM)^3=M^{-2}(2G)^{-3}.$ Видно, что чем больше чёрная дыра, тем она менее плотная. Соответственно, если мы возьмём пространство, заполненное веществом с однородной плотностью, то на малых масштабах оно будет пространство как пространство (точнее, Фридман-Леметровское), а на больших - сколлапсирует в чёрную дыру. Соответствующий масштаб - как раз такой, что мысленно очерченная сфера будет иметь плотность бо́льшую или равную, чем плотность чёрной дыры такого же размера. (Точнее, Фридман-Леметровское пространство большего размера в принципе существовать не может: заданной плотности соответствует некоторая пространственная кривизна, и она задаёт радиус гиперсферы, которой и является наше пространство. А части гиперсферы заданного радиуса нельзя взять произвольно большого объёма: объём ограничен объёмом самой гиперсферы. Здесь начальную скорость полагаем нулевой.)

Итак, сначала ваша чёрная дыра будет спокойно "кушать" реликтовое излучение, и расти. Но в какой-то момент, плотность чёрной дыры станет меньше плотности энергии реликтового излучения в пространстве. Видимо, именно в этот момент и произойдёт "кирдык".

-- 02.06.2016 15:08:21 --

Pphantom в сообщении #1128247 писал(а):

Очевидно, что пренебрегать изменением температуры реликтового излучения и даже хокинговским испарением ЧД (не говоря уж о куче других, куда более значимых факторов) на таких временах нельзя.

Хокинговским - можно. Оно и для обычных ЧД-то мало́ (и заведомо меньше прироста массы от поглощения реликта, на многие порядки), а с увеличением ЧД - будет ещё уменьшаться.

Полезно помнить оценку, что хокинговское излучение - планковское, с максимумом на характерной длине волны, по порядку равной радиусу самой ЧД. Отсюда видна феерическая пропасть между хокингом и реликтом, в пользу второго.

-- 02.06.2016 15:09:57 --

А вот сохранится ли этот эффект во Вселенной, заполненной реликтом, и расширяющейся по Фридману-Леметру (в вариантах radiation dominance и matter dominance), по Де Ситтеру, и по Λ-CDM, - вопрос, конечно, интересный.

[Pphantom]

Munin в сообщении #1128251 писал(а):

Хокинговским - можно. Оно и для обычных ЧД-то мало́ (и заведомо меньше прироста массы от поглощения реликта, на многие порядки), а с увеличением ЧД - будет ещё уменьшаться.

В общем-то это модельно-зависимая вещь. Соорудить модель, в которой на какой-то стадии реликтовый фон будет уменьшаться быстрее, чем испарение, вполне реально.

[Munin]

Ну-у-у... реально-то реально...

Вот только за счёт чего? За счёт огроменной тёмной энергии? А вы не боитесь, что она вам и чёрную дыру изнутри разорвёт?

Я ещё со времён modcos.com пытаюсь подчеркнуть, что не надо сооружать модели, не включая в них физические причины того или иного поведения.

[Dmitriy40]

Munin в сообщении #1128251 писал(а):

Итак, сначала ваша чёрная дыра будет спокойно "кушать" реликтовое излучение, и расти. Но в какой-то момент, плотность чёрной дыры станет меньше плотности энергии реликтового излучения в пространстве. Видимо, именно в этот момент и произойдёт "кирдык".

Интересно в чём будет выражаться этот "кирдык"? Разве что-то помешает продолжать поглощать внешнее излучение?

Ещё было бы интересно оценить "скорость роста дыры" (увеличение гравитационного радиуса от времени) - когда она приблизится к $c$? И не случится ли это раньше $\tau = \frac{1}{\alpha M_0}$? Если да - тоже встаёт вопрос о физическом смысле дальнейших процессов.

[Munin]

Dmitriy40 в сообщении #1128263 писал(а):

Интересно в чём будет выражаться этот "кирдык"? Разве что-то помешает продолжать поглощать внешнее излучение?

Да нет, не помешает, просто скорость поглощения обратится в бесконечность.

[Pphantom]

Munin в сообщении #1128262 писал(а):

Вот только за счёт чего? За счёт огроменной тёмной энергии? А вы не боитесь, что она вам и чёрную дыру изнутри разорвёт?

Да нет, вполне достаточно взять даже простейшую фридмановскую модель с плотностью, меньшей критической (и без всяких лямбда-членов). Очевидно, что для любой эпохи можно найти такую массу ЧД, при которой поглощение реликта и светимость за счет испарения окажутся одинаковыми (первое пропорционально квадрату массы, второе - обратно пропорционально ему же, где-то зависимости заведомо пересекутся), а в дальнейшем испарение будет больше, чем поглощение.

Munin в сообщении #1128262 писал(а):

Я ещё со времён modcos.com пытаюсь подчеркнуть, что не надо сооружать модели, не включая в них физические причины того или иного поведения.

А вот это совершенно правильно. Но в рамках такого критерия в этой теме вообще нечего обсуждать.

[Munin]

Pphantom в сообщении #1128274 писал(а):

Но в рамках такого критерия в этой теме вообще нечего обсуждать. :mrgreen:

Нет, почему. Просто астрономы и физики разный смысл вкладывают в слово "причины". Вы требуете реалистичности возникновения ЧД - сразу смотрите на ЧД звёздной массы. Сразу смотрите на реальный реликт нашей сегодняшней Вселенной. Я готов говорить про произвольно взятую ЧД и произвольно взятый реликт. Но сама Вселенная должна хотя бы удовлетворять космологической модели. И с другой стороны - нельзя задавать произвольный закон изменения реликта по времени. Надо "наполнить" Вселенную конкретным веществом, реликтом и тёмной энергией (а то и уточнить её уравнение состояния), и тогда уже обсуждать. Тёмная энергия для больших чёрных дыр может оказаться критична.