Olympiade(TashSU - 2008)

[Pyphagor]

Cтуденческая математическая олимпиада(ТашГУ-2008)
(1-4 курс, 3 часа)
1. Найти $ \displaystyle \lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{n}$ , где $a_{n} = [(n+1)(n+2)...(2n)]^{\frac{1}{n}}$.

2.Доказать, что $\det \left[\begin{array}{cc} A & A^2\\ A^2 & A^3 \end{array} \right] = 0$
где $A$ - произвольная квадратная матрица.

3. Плоская фигура ограничена кривой $\displaystyle x^{2n} + y^{2n} = 1$, $n=1,2...$
Доказать, что если $S_{n}$ - площадь фигуры ограниченной этой кривой, то
$\lim\limits_{n \to \infty} S_{n} = 4$.

4. Пусть $p(x)$ - полином с целыми коэффициентами и $p(a)=b, p(b)=c, p(c)=a$
для некоторых целых $a,b,c$. Доказать, что уравнение $p(x)=x$ имеет целое решение.

5. Доказать, что произвольная аддитивная подгруппа ($G$,+) группы ($R$,+)
либо всюду плотна, либо дискретна
(группа дискретна - т.е. каждый элемент из группы имеет окрестность в которой не содержится
других элементов из группы).

[zoo]

по-моему в задачнике по матану Виноградовой Олехника Садовничего теоретические задачи сложнее, первые 3 задачи вообще обсуждения не заслужиают

[Юстас]

Весь вопрос в том для кого олимпиада: если для мехмата, то можно и посложнее давать, хотя уверен что даже с этими задачами полностью справится процентов 5 участников.
Кстати, 4я задача была несколько лет назад на олимпиаде ММФ НГУ. Надо будет заглянуть в статистику на НГУшном форуме

[Профессор Снэйп]

Пятая задача тривиальна. Не понимаю, что в ней можно найти "олимпиадного"?

[Руст]

4 ая задача только на первый взгляд кажется непростой.
Рассмотрим многочлен $q(x)=p(x)-x$ и получаем $q(a)=b-a, \ q(b)=c-b, \ q(c)=a-c$. Если ни одно из значений $q(a),q(b),q(c)$ не равно 0, то $b-a|q(a+(b-a))=c-b, \ c-b|q(b+(c-b))=a-c, \ a-c|q(c+(a-c))=b-a$. А это означает, что величины $q(a),q(b),q(c)$ одинаковы по модулю и их сумма равна 0 -противоречие.
На самом деле из условия задачи сразу следует $a=b=c$, т.е. $p(a)=a$.

[dewgong]

Кстати, 4-ую задачу как раз почти все решили (может потому,что она из элементарной математики?).

2. Пусть $A \neq O$ и существует обратная матрица к $\left( \begin{array}{cc} A&A^2\\A^2&A^3 \end{array}\right)$ в виде $\left( \begin{array}{cc} X&Y\\Z&W \end{array}\right).$

Тогда $\left( \begin{array}{cc} I_n&O\\O&I_n \end{array}\right)=\left( \begin{array}{cc} A&A^2\\A^2&A^3 \end{array}\right) \left( \begin{array}{cc} X&Y\\Z&W \end{array}\right)=\left( \begin{array}{cc} AX+A^2Z&AY+A^2W\\A(AX+A^2Z)&A(AY+A^2W) \end{array}\right).$
Cледовательно, $OA=I$ противоречие.

[TOTAL]

$\left| \begin{array}{cc} A&A^2\\A^2&A^3 \end{array}\right|=\left| \begin{array}{cc} A&A\\A^2&A^2 \end{array}\right|\left| \begin{array}{cc} E&0\\0&A \end{array}\right|=0 $