Уравнение движения точечного заряда

[Formalizator]

Имеется пространство Минковского, в котором присутствуют:
- Электромагнитное поле $F_{ik}(\mathbf x)$
$F_{ik}(\mathbf x) = -F_{ki}(\mathbf x)$;
- Точечная частица с массой $m$, электрическим зарядом $q$ и мировой линией $r^i(s)$ (параметр $s$ - длина участка мировой линии от некоторой начальной точки, в будущее со знаком $+$, в прошлое со знаком $-$).
Вопрос: каким уравнениям удовлетворяют $F_{ik}$ и $r^i(s)$.
$F_{ik}$ в точках НЕ на мировой линии точечной частицы удовлетворяет уравнениям Максвелла:

$$\frac{\partial{F_{ik}}}{\partial x_k} = 0$$

$$\frac{\partial{F_{ik}}}{\partial x^l} + \frac{\partial{F_{kl}}}{\partial x^i} + \frac{\partial{F_{li}}}{\partial x^k} = 0$$

В точках на указанной мировой линии $F_{ik}$ обращается в бесконечность.
Каково уравнение для $r^i(s)$, учитывающее и силу Лоренца, и силу радиационного трения?

[svv]

Посмотрите в ЛЛ2 параграф 76 «Торможение излучением в релятивистском случае», там найдёте ковариантное выражение для силы радиационного трения и уравнения движения с её учётом.

Если представить полное поле в виде суммы 1) поля данной частицы и 2) всех остальных полей, то второе слагаемое по-прежнему удовлетворяет однородным уравнениям Максвелла даже на её мировой линии. Первое обращается в бесконечность на мировой линии, но и оно удовлетворяет уравнениям Максвелла (с источниками) в смысле обобщённых функций. К счастью, иметь дело с бесконечностями напрямую не приходится, раз сила радиационного трения известна.

[Formalizator]

Получаем для $r^i(s)$ уравнение

$$ m\frac{d^2r^i}{ds^2} = q\tilde F^{ik}\frac{dr_k}{ds} + \frac{q^2}{6\pi}\left(\frac{d^3r^i}{ds^3} - \frac{dr^i}{ds}\frac{dr^k}{ds}\frac{d^3r_k}{ds^3}\right) $$

($\tilde F^{ik}$ - внешнее электромагнитное поле, без учёта поля, создаваемого частицей).

Но это уравнение имеет лишние решения, в которых частица самоускоряется. Каким образом избавиться от лишних решений?

[svv]

Не знаю. Я пролистывал работы, авторы которых пытались исключить нефизичные решения с помощью введения некоторой модели заряженной частицы, сохранив в то же время нужное решение. (Мне самому не по душе хитрые модели электрона в виде облачка, сдерживаемого силами неизвестной природы.) Надо понимать, что здесь мы работаем на пределе применимости классической электродинамики или даже за пределами, о чём предупреждают и ЛЛ, и Фейнман, так что полной корректности модели ждать не приходится.

Может, найдёте что-то по ключевым словам: Abraham–Lorentz force, non-causal solutions (как их иногда называют), и т.п.

[AnatolyBa]

Несколько подробнее это изложено у Джексона (Классическая электродинамика, глава 17)

[physicsworks]

(Оффтоп)

AnatolyBa в сообщении #1128015 писал(а):

Несколько подробнее это изложено у Джексона (Классическая электродинамика, глава 17)

кстати, недавно почившего :(

[Munin]

(Оффтоп)

Ого. Я думал, он из далёкого прошлого.
RIP

[Formalizator]

Вот такое уравнение получилось:

$$\frac{d^2r^i}{ds^2} = \frac{6\pi}{q}\left(\delta^i_k - \frac{dr^i}{ds}\frac{dr_k}{ds}\right)\int\limits_{\sigma = 0}^{\sigma = +\infty}e^{-\frac{6 \pi m \sigma}{q^2}}\tilde F^{kl}(\mathbf r(s + \sigma))dr_l(s + \sigma)$$

Проблема в том, что нужно интегрировать по будущему. Кроме того, нужно полное поле $F^{ik}$ представить в виде суммы внешнего поля $\tilde F^{ik}$ и поля, создаваемого зарядом.

Было бы хорошо представить уравнения в такой форме:

В каждый момент времени $t$ система (поле и частица) характеризуется состоянием $S(t)$. Уравнение движения:

$$\frac{d}{dt}S(t) = f[S(t)]$$

где $f[S]$ - некоторое преобразование, возможно, содержащее дифференцирование по пространственным координатам. В случае электромагнитного поля без зарядов такая форма известна:

$$S \colon \mathbf F \equiv \mathbf E + i \mathbf H$$

$$\operatorname{div} \mathbf F = 0$$

$$\frac{\partial \mathbf F}{\partial t} = -i \operatorname{rot} \mathbf F$$

При наличии зарядов уравнения для $\mathbf F$:

$$\operatorname{div} \mathbf F = \rho$$

$$\frac{\partial \mathbf F}{\partial t} = -i \operatorname{rot} \mathbf F - \mathbf j$$

Из этих уравнений можно получить уравнение непрерывности:

$$\frac{\partial \rho}{\partial t} = -\operatorname{div} \mathbf j$$

Остаётся неизвестным уравнение для $\mathbf j$:

$$\frac{\partial \mathbf j}{\partial t} = \ldots$$

Для точечного заряда $q$, радиус-вектор которого $\mathbf r(t)$:

$$\rho(t, \mathbf x) = q \delta(\mathbf r(t) - \mathbf x)$$

$$\mathbf j(t, \mathbf x) = \dot {\mathbf r}(t) \rho(t, \mathbf x)$$

Задача в том, чтобы найти выражение для $\frac{\partial \mathbf j}{\partial t}$ для точечного заряда, исходя из $\rho$, $\mathbf j$, $\mathbf F$ в тот же момент времени. Можно использовать дифференцирование по координатам. Очевидно, в этом выражении будет присутствовать масса частицы $m$.

[Munin]

Точечный заряд описывают скоростью (4-), а не током и дельта-функцией: запутаетесь.

Попробуйте решить задачу для однородного внешнего поля. В малом все поля (кроме собственного) однородны.

[Formalizator]

В постоянном однородном внешнем поле без учёта радиационного трения 4-скорость и 4-координата заряда выражаются формулами:

$$u^i(s) = \exp\left(\frac{qs}{m} \tilde {F^i}_{\!k}\right) u^k(0)$$

$$r^i(s) = r^i(0) + \int\limits_0^s u^i(\sigma)\,d\sigma = r^i(0) + u^k(0) \int\limits_0^s \exp\left(\frac{q \sigma}{m} \tilde {F^i}_{\!k}\right) d\sigma$$