Равномерная сходимость

[loshka]

Здравствуйте, возникли 2 проблемы, прошу помочь в их разрешение.
1)Мой научный руководитель постоянно говорит, что существует определение равномерной сходимости функциональной последовательности из топологического пространства в топологическое пространства(оба не метрические), к сожалению я не смог найти, а он показать книги где такое определение дается, подскажите в какой книге можно посмотреть данное определение, если таковое вообще имеется.
2)Пусть $f_n$ непрерывные функции на $[a;b]$ и $f_n \rightarrow f$ тогда существует счетное множество компактов $F_m \subset [a;b]$ , таких что $f_n \Rightarrow f$ (Не знаю как записать 2 стрелки вправо) на $F_m$ для любого $m$ и $\bigcup\limits_{i=1}^\infty F_m =[a;b]$
мне кажется это утверждение неверным, подойдет ли для примера такая последовательность $f_n(x)=x/r_n$ на множестве $[0;1]$ где $r_n$ занумерованные рациональные числа из $[0;1]$ На любом замкнутом интервале не будет равномерной сходимости?

[Someone]

Р. Энгелькинг. Общая топология.Москва, "Мир", 1986.

Глава 8.

[loshka]

я эту главу даже не читал и в силу этого не совсем корректно сформулировал вопрос, речь идет о равномерной сходимости функциональных последовательностей, у Энгелькинга данная вещь определяется только для отображений из $X\rightarrow R$ на странице 60.
В главе 8 есть определение равномерности равномерной сходимости, его можно принять за нужное мне определение? Я немного не понимаю берется равномерность на $Y$ индуцируется определенным образом на $Y^X$ , но как она синергирует с понятием равномерной сходимости функциональной последовательности. Пусть $(X,U) (Y,V)$ два равномерных пространства и $f_n: X \rightarrow Y$ , тогда формулировка равномерной сходимости для последовательности будет звучать так? Для любого $K$ из $V$ существует $n_0$ так что для любых $n>n_0$ выполнено $|f_n(x)-f(x)|<K$ для всех $x$ из $U$

Еще подскажите пожалуйста, если есть изоморфизм $f:X \rightarrow Y$ где $X$ топологическое пространство и $Y$ метрическое, то тогда на $X$ можно ввести метрику?

[alcoholist]

loshka в сообщении #1127200 писал(а):

если есть изоморфизм

Вы имеете ввиду гомеоморфизм?
Если да, то конечно. $X$ метризуемо.

[loshka]

На самом деле я пытаюсь понять следует ли из теоремы ниже, что любое равномерное пространство метризуемо.
Каждое равномерное пространство равномерно изоморфно подпространству произведения некоторого семейства метризуемых равномерных пространств.

[alcoholist]

loshka в сообщении #1127227 писал(а):

любое равномерное пространство метризуемо

Нет, иначе это были бы синонимы. Равномерность -- ослабление метризуемости.

[loshka]

скажите пожалуйста, я правильно понимаю, что это самое общее определение для равномерной сходимости?