Спектральная функция

[SCW]

Здравствуйте

Хочу обратиться к вам с задачей по спектральной теории. Следует выразить спектральную функцию оператора $\sin A$ через спектральную функцию эрмитового А.

Пусть нам известно спектральное разложение А:
$A = \int\limits_{ - \infty }^\infty {\lambda dE(\lambda )}$, где $E(\lambda )$ - спектральная функция (соответствующее разложение единицы).

Отсюда немедленно следует, что
$\sin A = \int\limits_{ - \infty }^\infty {\sin \lambda dE(\lambda )} = \sum\limits_{k = - \infty }^\infty {\int\limits_{\pi (2k - 1)}^{\pi (2k + 1)} {\sin \lambda dE(\lambda )} }$

Теперь замена $\sin \lambda = \mu$ будет однозначной. Неясно, как выразить новую спектральную функцию через заданную меру $E(\lambda )$

[Red_Herring]

А что такое $\sin A$ (т.е. вопрос к Вам: как определяется функция от самосопряженного оператора)?

[ewert]

Вот ровно так и выразить -- поменять местами суммирование и интегрирование. Только 1) интегрировать не по периодам, а по полупериодам, 2) сделать затем замену $\sin\lambda=\mu$ и 3) отдельно просуммировать составляющие для концов промежутков, т.к. они могут попасть на собственные числа.

[SCW]

Red_Herring, можно определять как ряд по степеням А. Правда, сомнительно, что это имеет непосредственное отношение к задаче.

ewert, насколько я понял, Вы предлагаете перенести зависимость от k в аргумент спектральной функции? Буду благодарен, если оформите мысль чуть подробнее - очень интересно посмотреть на Ваш ход решения.

[ewert]

SCW в сообщении #1126922 писал(а):

, можно определять как ряд по степеням А.

Нельзя, если оператор неограничен. А стандартно -- определяется ровно так, как у Вас. Ровно через интеграл.

SCW в сообщении #1126922 писал(а):

оформите мысль чуть подробнее

Ну пусть пока на границах полупериодов собственных чисел нет. Тогда каждое чётное слагаемое Вашей суммы (крайне неудачно записанной, т.е. Вы явно имели в виду не то, что выписали) имеет вид

$$\int\limits_{2\pi k-\frac{\pi}2}^{2\pi k+\frac{\pi}2}\sin\lambda\,dE(\lambda)=\int\limits_{-1}^{1}\mu\,dF_{2k}(\mu),$$

где $F_{2k}(\mu)=E(\arcsin\mu)-E(2\pi k-\frac{\pi}2)$ на промежутке $\mu\in(-1;1)$ и стабилизировано за пределами этого промежутка. Для нечётных полупериодов -- аналогично, только чуть сложнее из-за противоположной монотонности. Вот сумма всех таких $F_n(\mu)$ и будет разложением единицы.

[Red_Herring]

SCW в сообщении #1126922 писал(а):

Red_Herring, можно определять как ряд по степеням А. Правда, сомнительно, что это имеет непосредственное отношение к задаче.

Есть 2 определения: одно которое Вы использовали, второе через ряд (или комплексный интеграл), но тогда функция аналитическая а оператор ограниченный. Впрочем эти определения в данном случае дают одно и то же.

Что Вам ewert советует. Смотрите, по определению $E_B(\lambda)$ это проектор на подпространство, где $B<\lambda$. То есть для $B=\sin (A)$ это где $\sin(A)<\lambda$. А это значит что $\alpha_k< A<\beta_k$ для какого-либо $k\in \mathbb{Z}$. Проектором на последнее будет $(E_A(\beta_k)-E_A(\alpha_k+0))$ (замечание о собственных значениях). И окончательно последнее выражение суммируется по $k\in \mathbb{Z}$.

Неравенства понимаются в операторном смысле

[SCW]

ewert, Red_Herring, большое спасибо за помощь

Согласно этим соображениям, для интегрирования в промежутке $\left( {\frac{\pi }{2} + 2\pi k;\frac{{3\pi }}{2} + 2\pi k} \right)$ спектральная функция будет равна
$E(2\pi k + \frac{{3\pi }}{2}) - E\left( {\pi - \arcsin \mu } \right)$. Верно ли это?

ewert, хотел бы уточнить, почему вы записываете $E( {\arcsin \mu })$, а не $E( {\arcsin \mu +2\pi k})$?

[Red_Herring]

Вы игнорируете замечание о собственных значениях: поэтому $E(\alpha_k+0)$, поскольку спектральная функция полунепрерывна слева.

[ewert]

SCW в сообщении #1126942 писал(а):

ewert, хотел бы уточнить, почему вы записываете $E( {\arcsin \mu })$, а не $E( {\arcsin \mu +2\pi k})$?

По рассеянности. Вообще не особенно вдумывался и, соответственно, предложил не лучшую форму записи.Скомбинируйте предложения моё и Red_Herring.

[SCW]

Интересно, касается ли замечание Red_Herring о полунепрерывности Е в большей мере культуры записи, или речь идет о фактической ошибке?

[ewert]

SCW в сообщении #1126954 писал(а):

Интересно, касается ли замечание Red_Herring о полунепрерывности Е в большей мере культуры записи, или речь идет о фактической ошибке?

Ни то, ни другое. Это просто такая договорённость -- считать, что она непрерывна именно слева. С тем же успехом можно было бы определить и наоборот. Но как-то уговориться надо.

[SCW]

ewert, еще раз спасибо за ценные советы

Таким образом, решение задачи будет иметь вид:

$F(\mu)=\sum \limits_k F_k(\mu)$, где
$F_{2k}(\mu)=E(\arcsin \mu + 2\pi k) - E( - \frac{\pi }{2} + 2\pi k + 0)$,
$F_{2k+1}(\mu)=E(\frac{{3\pi }}{2} + 2\pi k) - E(\pi - \arcsin \mu + 2\pi k + 0)$.

[Red_Herring]

А чему будет при $\mu \le -1$ и $\mu > 1$?

[SCW]

Red_Herring, ведь $\mu=\sin \lambda$. Спектр находится целиком в $[-1;1]$.

[Red_Herring]

Из того что спектр сосредоточен в каком-то множестве отнюдь не следует что спектральный проектор не определён на всей числовой оси. Вопрос лёгкий, но он на понимание.