А существуют ли такие числа?

[math11235]

Здравствуйте!
Помогите, пожалуйста, разобраться со следующей задачей: Можно ли найти такие $x$ и $y$, что $|x-y|<0,01$ и $|\sin(x^2)-\sin(y^2)|>1$ одновременно?
Ответ на вопрос задачи отрицательный. Я в программе построил графики этих неравенств, и оказалось, что полученные множества не пересекаются. Но как до этого дойти? Я попробовал свести задачу к следующей: Доказать, что при $|\Delta x|<0,01$ модуль приращения функции $f(x)=\sin(x^2)$ меньше $1$, то есть $|\Delta f(x)|<1$.
К сожалению, я не очень хорошо представляю с чего начать доказательство.
Я буду благодарен, если Вы поможете мне.

[Anton_Peplov]

Я бы пошел совсем другим путем. А именно - начал с решения уравнения $|\sin(x^2) - \sin(y^2)| = 1$.
Получающиеся пары значений $(x, y)$ должны натолкнуть на какую-нибудь мысль.

[mihaild]

Давайте для начала рассмотрим частный случай: заменим $\left|\sin(x^2) - \sin(y^2)\right| > 1$ на более сильное утверждение $\sin(x^2) - \sin(y^2) = 2$. Что тогда можно сказать про $x$ и $y$?

[VAL]

Не пытайтесь доказать то, что доказать невозможно.
Лучше постройте пример (у меня ушло с полминуты), показывающий, что такие пары чисел существуют.

[Mikhail_K]

math11235 в сообщении #1126814 писал(а):

Помогите, пожалуйста, разобраться со следующей задачей: Можно ли найти такие $x$ и $y$, что $|x-y|<0,01$ и $|\sin(x^2)-\sin(y^2)|>1$ одновременно?

Искомые $x$ и $y$ отличаются совсем ненамного, а значения функции $f(x)=\sin x^2$ в этих точках отличаются больше чем на единицу. Когда такое возможно? Наверное, эти $x$ и $y$ надо искать в тех местах, где функция $f(x)$ изменяется очень быстро, где наклон её графика большой. А где такое происходит - подумайте.

Ещё не помешает схематически изобразить график этой функции $f(x)$, чтобы представлять себе, как он вообще выглядит, и посмотреть, в каких точках эта функция достигает минимума, в каких - максимума...

[Евгений Машеров]

Как вариант, рассмотреть выражение для синуса суммы, представив y, как сумму икса и малой поправки.

[math11235]

VAL в сообщении #1126823 писал(а):

Не пытайтесь доказать то, что доказать невозможно.
Лучше постройте пример (у меня ушло с полминуты), показывающий, что такие пары чисел существуют.

Интересно, что Вы смогли построить пример. Я строил графики данных неравенств в программе, и там было отчетливо видно, что множества не пересекаются.

[Mikhail_K]

math11235 в сообщении #1126870 писал(а):

Интересно, что Вы смогли построить пример. Я строил графики данных неравенств в программе, и там было отчетливо видно, что множества не пересекаются.

Программы могут обманывать. Посмотрите мой совет выше, и может быть даже поймёте, почему программа Вас обманула.

[Евгений Машеров]

math11235 в сообщении #1126870 писал(а):

Интересно, что Вы смогли построить пример. Я строил графики данных неравенств в программе, и там было отчетливо видно, что множества не пересекаются.

Подсказка - область определения синуса бесконечна. А место для графика функции - нет.

[math11235]

Mikhail_K в сообщении #1126871 писал(а):

math11235 в сообщении #1126870 писал(а):

Интересно, что Вы смогли построить пример. Я строил графики данных неравенств в программе, и там было отчетливо видно, что множества не пересекаются.

Программы могут обманывать. Посмотрите мой совет выше, и может быть даже поймёте, почему программа Вас обманула.

Вы действительно правы! Я рассмотрел эти графики при больших значениях $x$, и они пересекаются. Попытаюсь построить пример.

[Mikhail_K]

math11235 в сообщении #1126876 писал(а):

Вы действительно правы! Я рассмотрел эти графики при больших значениях $x$, и они пересекаются. Попытаюсь построить пример.

Я бы советовал всегда, где можно, начинать со схематичного изображения ситуации на бумажке, а уж потом использовать всякие программы. Нарисуйте сами, как функция $f(x)=\sin x^2$ выглядит примерно, и всё понятно станет.

[Anton_Peplov]

Черт, а всех и дел-то было, что заметить: производная от $\sin (x^2)$ равна $2x \cos (x^2)$. А это неограниченная функция.
И надо же было так попасться! Классная задача, респект.

-- 29.05.2016, 11:52 --

Добавляю в свой "список когнитивных искажений в матанализе" почетным вторым пунктом "распространять поведение функции при небольших аргументах на всю ось".

[Otta]

Да, в общем, задача как задача, - вполне себе хорошая задача для первого курса. На вспоминать иногда о равномерной непрерывности.

Однако ее отсутствия (как и, тем более, неограниченности производной) может и не хватить: достаточно попытаться условия из задачи выполнить для функции $f(x)=1/4 \sin x^2$.

[Anton_Peplov]

Не, ну это понятно. Нужно не только, чтобы на некотором отрезке $[a, b]$ у функции была достаточно большая производная, но и чтобы предлагаемая в условии разность значений умещалась в $f([a, b])$. Если не умещается, то не поможет ни Бог, ни черт, ни прописка в Москве, ни неограниченная производная.