Поля с единицей

[tazdraperm]

Здравствуйте! Хочу попросить о помощи в решении следующей задачи:
A - кольцо, B - его подкольцо. Известно, что B - кольцо с единицей. Является ли A кольцом с единицей?

Запишем данные в более удобном виде:
$\forall b\in B$, $eb=be=b$, при этом $e \in B$, и $ee=e$

Далее я предположил, что в A есть некоторый элемент, для которого e не является единичным, то есть:
$\exists a\notin B$:
$\begin{cases} ae=c \\ ea=d \\ c\neq d \end{cases}$

Теперь я хочу свести данную систему к противоречию
Если домножить первое равенство из системы на e справа, получим $ae=ce$
Аналогично можно получить $ea=ed$

Но какие дальше нужны преобразования я так и не понял, поэтому надеюсь на вашу помощь. Заранее спасибо.

[Anton_Peplov]

Если не получается доказать, можно попробовать опровергнуть.
Рассмотрим на числовой прямой множество всех отрезков $[a, b]$ конечной длины.
1. Дополните его до кольца с симметрической разностью в качестве сложения и пересечением в качестве умножения.
2. Покажите, что минимальное такое кольцо $K$ не имеет единицы.
3. Подумайте, какими элементами можно дополнить $K$, чтобы оно стало кольцом $K^\prime$, имеющим подкольцо с единицей. А может, оно в нем и так уже есть?

[DeBill]

Anton_Peplov
Мне кажется, ТС имел в виду КОЛЬЦО, но не КОЛЬЦО МНОЖЕСТВ....

[Anton_Peplov]

DeBill
А что, кольцо множеств не является кольцом? Мы же контрпример строим. Любое кольцо сойдет, опровергающее исходное положение.
Впрочем, если у Вас есть более изящный контрпример, на своем я не настаиваю. Этот мне просто первым в голову пришел.

[DeBill]

Пусть $A = \mathbb{Z} \times 2\mathbb{Z}$, $B=\mathbb{Z}\times \{ 0\}$, с операциями покоординатное сложение и покоординатное умножение....

-- 28.05.2016, 20:19 --

Anton_Peplov
Просто КОЛЬЦО - группа по сложению; в КОЛЬЦЕ МНОЖЕСТВ - нет вычитания.

-- 28.05.2016, 20:24 --

В поле, в аксиомах есть условие $1\ne 0$. А в кольце?
Если нет, то: $A=\mathbb{Z}_2, B= \{0\}$

[Anton_Peplov]

DeBill в сообщении #1126723 писал(а):

Просто КОЛЬЦО - группа по сложению; в КОЛЬЦЕ МНОЖЕСТВ - нет вычитания.

Есть. Просто оно совпадает со сложением, что аксиомами группы не запрещено. $A = -A$ (ибо в качестве сложения выступает симметрическая разность $\Delta$, в качестве нуля - $\varnothing$, и $A \Delta A = \varnothing$).
Но я не спорю, что Ваш контрпример изящнее (я его не проверял, но за Вами и не надо).

DeBill в сообщении #1126723 писал(а):

В поле, в аксиомах есть условие $1\ne 0$. А в кольце?

В кольце нет. Впрочем, могут быть расхождения в разных учебниках.

[tazdraperm]

DeBill в сообщении #1126723 писал(а):

Пусть $A = \mathbb{Z} \times 2\mathbb{Z}$, $B=\mathbb{Z}\times \{ 0\}$, с операциями покоординатное сложение и покоординатное умножение....

То есть,
$A=\{(a_1,a_2) | a_1 \in \mathbb{Z}, a_2 \in 2\mathbb{Z}\}$
$B=\{(b,0) | b \in \mathbb{Z}\}$
Тогда в В $e = (1,0)$, а в А единицы нет.
Я правильно понял Вашу идею?

Если да, то хотел бы еще спросить, можно ли как-то в общем виде задать условие, при котором в А не будет единицы?

[DeBill]

DeBill в сообщении #1126723 писал(а):

Если нет, то: $A=\mathbb{Z}_2, B= \{0\}$

Ой, это я опечатался: надо $2\mathbb{Z}$.

Anton_Peplov
Ааа, ая не врубился...Привык к стандартным операциям. Видать, мозги костенеют, однако.

tazdraperm в сообщении #1126729 писал(а):

Я правильно понял

Ага. А в общем виде - не, не знаю. Это надо спецов-алгебраистов теребить.

[Anton_Peplov]

DeBill
Да не, с мозгами все хорошо. Это когнитивная легкость, благодаря которой на вопрос, сколько зайцев Моисей взял на ковчег, все отвечают, что пару, и никто не спрашивает, при чем тут Моисей. В кольце есть сложение и умножение, и когда мы слышим о кольце множеств, сразу вспоминаем про объединение и пересечение, которые тоже принято называть сложением и умножением (я, кстати, очень не люблю данную терминологию именно за это).

Почему-то не принято обращать внимания, что кольцо множеств - это именно кольцо, а не омоним. На мой взгляд, зря, но в любом случае это мелочь.

tazdraperm в сообщении #1126729 писал(а):

можно ли как-то в общем виде задать условие, при котором в А не будет единицы?

Вряд ли такие вещи можно задать в общем виде.

[tazdraperm]

Anton_Peplov в сообщении #1126734 писал(а):

Вряд ли такие вещи можно задать в общем виде.

В любом случае, спасибо, и DeBill тоже спасибо :)

[Anton_Peplov]

Пожалуйста:)

[VAL]

Подходящие примеры можно найти и в кольцах классов вычетов по модулю.
Например, в качестве $A$ можно рассмотреть подкольцо, состоящее из всех четных классов кольца $\mathbb Z_{60}$. $A$ будет кольцом без единицы. В качестве $B$ можно взять подкольцо, состоящее из всех классов кратных 12. Легко видеть, что $B$ будет кольцом с единицей (и даже полем).

[lek]

tazdraperm в сообщении #1126701 писал(а):

A - кольцо, B - его подкольцо. Известно, что B - кольцо с единицей. Является ли A кольцом с единицей?

Ясно, что на этот вопрос однозначно ответить нельзя. В качестве ремарки... довольно странный заголовок.

tazdraperm в сообщении #1126729 писал(а):

...можно ли как-то в общем виде задать условие, при котором в А не будет единицы?

Можно, если использовить понятие свободной $\mathbb{Z}$-алгебры (любое кольцо есть гомоморфный образ такой алгебры). Достаточно подходящим образом определить ядро гомоморфизма.

[Lia]

(Оффтоп)

lek в сообщении #1126813 писал(а):

В качестве ремарки... довольно странный заголовок.

Я все ждала, когда это кто-нибудь заметит ))

[Anton_Peplov]

(Оффтоп)

Я заметил, но не счел нужным упоминать.