Доверительный интервал

[shukshin]

Найти доверительный интервал для м.о. для показательного и равномерного распределений.
Мой ход решения:
$U[0; \theta] (\mu = \frac {\theta}{2})$$
По ЦПТ $\sqrt{n} (\frac { \bar X - \mu} {\sigma}) \sim N(0, 1) $
Пусть $\mu$ - математическое ожидание равномерного распределения и мы хотим построить интервал для него.
Тогда
$P\{ - z_{1-\frac {\varepsilon}{2}} < \sqrt{n} (\frac { \bar X - \mu} {\sigma}) < z_{1-\frac {\varepsilon}{2}}\} = 1 - \varepsilon$
Знаем $\sigma^2 = \frac {\theta^2} {12} = \frac {\mu^2} {3}$, отсюда
Окончательный интервал:
$ (\frac {\bar X} { 1 + \frac { z_{1-\frac {\varepsilon}{2}} } { \sqrt{3n }} } ; \frac {\bar X} { 1 - \frac { z_{1-\frac {\varepsilon}{2}} } { \sqrt{3n }} } ) , $z_{1-\frac {\varepsilon}{2}}$ - квантиль соответствующего уровня из нормального распределения.
$\bar X$ - выборочное среднее, а $\sigma$ - среднекв. отклонение.

-Для показательного распределения пользуемся теми же идеями:
$ P\{- z_{1-\frac {\varepsilon}{2}} < \sqrt{n} (\frac { \bar X - \mu} {\sigma}) < z_{1-\frac {\varepsilon}{2}}\} = 1 - \varepsilon Знаем, что $\sigma^2 = \frac {1} {\lambda^2} = \mu^2$, $
$ (\frac {\bar X} { 1 + \frac { z_{1-\frac {\varepsilon}{2}} } { \sqrt{n }} } ; \frac {\bar X} { 1 - \frac { z_{1-\frac {\varepsilon}{2}} } { \sqrt{n }} } )$
Я вообще прав? Меня тревожит, что я взял и подставил выражение $\sigma$ через $\mu$.

[DeBill]

shukshin в сообщении #1126333 писал(а):

Меня тревожит, что

И это правильно, и хорошо: это - признак культурности чела...
Подставив, мы, конечно, допустили некую грубость: не имели мы такого права, вообще-то.
НО: мы уже и до этого нагрубили, применив ЦПТ. Так что ошибкой больше, ошибкой меньше - уже не принципиально.
Итого: делать так - можно (и часто так и делают, особенно если объем выборки велик)
МОЖНО ли сделать лучше? Да, с вариантами...
1. Можно подставить точные формулы для $\sigma$, и решить полученную систему неравенств относительно $\mu$ (неравенства - квадратные, вроде бы, так что - решаются). Это, по сравнению с первым способом, даст чуток лучшее решение.
2. Можно не применять ЦПТ, а работать с точными распределениями для эмпирического среднего (это - если $n$ мало):
а) сумма независимых одинаковых показательных имеет Гамма-распределение...
Вот только не знаюЮ есть ли таблицы квантилей для него (есть, наверное)
б)для равномерного и совсем маленьких объемов - можно ручками; но для "средних" - ??

И- последнее: Вы везде в качестве оценки м.о. берете эмпирическое среднее.
Но, в случае равномерного, есть другая замечательная оценка $\widehat{\mu} = \frac{1}{2}\cdot \max \{x_i \} $ (из метода максимального правдоподобия). Может, ТАК получится хороший интервал?

[--mS--]

Бр-р-р, ничего не понимаю: какую грубость мы совершили, подставив вместо дисперсии её точное значение?
Коллега DeBill явно иное имел в виду

shukshin, если требовалось построить асимптотический доверительный интервал, то правы.

[DeBill]

--mS--
Нда, был невнимателен... Такие проблемы возникают для Бернулли, а здесь все хорошо.
shukshin
Извините, это меня занесло. Все, что я писал про квадратные неравенства - полная лажа: нету их для Ваших распределений.
Так что из моего поста следует удалить преамбулу, а из амбулы - пункт 1.

[--mS--]

DeBill,
Добавление к п.2(а): ф.р. (и квантили) гамма-распределения в экселе есть.

(Оффтоп)

А если запрещено считать табулированным произвольное гамма-распределение, то недолго и к хи-квадрат свести, благо второй параметр целый.

[shukshin]

--mS--
DeBill
спасибо