а можете подробнее объяснить, почему класс

является множеством?
В ZFC есть такая "аксиома подстановки". Одна из её формулировок гласит:
Если

- множество,

- такой двуместный предикат, что для каждого

найдётся не более одного

, удовлетворяющего

, то существует такое множество

, что

.
(см.
Френкель, Бар-Хиллел. Основания теории множеств, глава 2,

5.)
В этой формулировке объект

не обязан быть членом какого-то заранее известного множества. Всё, что нужно от предиката

- это его верность или неверность для любого

и вообще любого объекта

, определённого средствами ZFC. В частности, брать булеаны от множеств ZFC позволяет.
Существует предикат

такой, что верны утверждения

и только они. Если мы хотим абсолютной строгости, то это тоже надо как-то доказывать, но в принципе здесь это и так ясно. Ведь от предиката мы требуем только одного - верности или неверности для любых двух объектов.
Теперь достаточно применить аксиому подстановки к нашему

и

.