прямолинейные образующие

[loser228]

Имеется задача. Две прямолинейные образующие поверхности $x^2+y^2-z^2 = 1$ пересекаются в точке, лежащей в плоскости $z = 1$ . Найти угол между этими прямыми.
мои попытки решения : перенес $y^2$ вправо , далее разложил на множители имеем :
$x^2-z^2=1-y^2$. Затем разложив на множители получаю $(x-z)(x+z)=(1+y)(1-y)$.
далее имеем два семейства прямых задаваемые системами линейных уравнений:$k(x-z) =m(1-y) , m(x+z)=k(1+y)$ и $k(x-z)=m(1+y), m(x+z) = k(1-y)$. отсюда можем найти направляющий вектор у каждой прямой но он имеет зависимость от отношения k и m. Никак не получается привязать условие пересечения в плоскости этих образующих $z = 1$ , как дальше делать или где я допустил ошибку ?

[пианист]

Возможно, Вам поможет осевая симметрия задачи: можно брать любую точку на окружности $x^2 + y^2 = 2, z=1$.
Соответственно, ищем пару прямых, удовлетворяющих условию $y = 0, z = 1$. Дальше все б.-м. упрощается.

[loser228]

Спасибо за помощь. Подставив $z=1, y=0 $, имеем: $x^2=2$, отсюда $x=\pm\sqrt{2}$. В силу симметрии (получается что угол между образующими сохранится?) возьмём $x=\sqrt{2}$ и решим систему, написанную выше для параметров $\frac{k}{m}$. Получил, что эти дроби равны в двух системах $1+\sqrt{2}$. Далее имеем координаты нормальных векторов для плоскостей, пересечением которых являются искомые прямые - это будут $(\sqrt{2}+1,1,-(\sqrt{2}+1))$ и $(1,-(\sqrt{2}+1),1)$, а во втором случае $(\sqrt{2}+1,-1,-(\sqrt{2}+1))$ и $(1,\sqrt{2}+1,1)$. Находим направляющий вектор каждой прямой - $a_1=(-2-2\sqrt{2},-2\sqrt{2}-2,-4-2\sqrt{2})$ и $a_2=(2+2\sqrt{2},-2\sqrt{2}-2,4+2\sqrt{2})$. Теперь найдя  их скалярное произведение и разделив на произведение длин имеем, что $\cos\alpha=-1/2$. Отсюда $\alpha=\frac{2\pi}{3}$. Правильно ли я рассуждал ?

[пианист]

Правильно. Цифры не проверял, но похоже, во всяком случае, $1 + \sqrt2$ точно получается.

[svv]

Очень удобно выбрать такие две образующие. Одна проходит через точки $(1,0,0)$ и $(1,1,1)$, а вторая через точки $(0,1,0)$ и $(1,1,1)$. Направляющими векторами будут $(0,1,1)$ и $(1,0,1)$. Угол между ними — это угол между диагоналями двух смежных граней куба, пересекающимися в вершине.

[loser228]

svv в сообщении #1126569 писал(а):

Очень удобно выбрать такие две образующие. Одна проходит через точки $(1,0,0)$ и $(1,1,1)$, а вторая через точки $(0,1,0)$ и $(1,1,1)$. Направляющими векторами будут $(0,1,1)$ и $(1,0,1)$.

Да, подсчет угла будет гораздо приятнее, чем в моем случае.