Условия Коши-Римана

[Danmir]

Доброго времени суток. Мне нужно доказать, что для функции $f\left(z\right)=\sqrt{\left| xy\right|}$ в точке $z=0$ выполняется условие Коши-Римана, но производной не существует.

Итак, мнимая часть тут $v\left(x,y\right)=0$, вещественную можно представить как $u\left(x,y\right)=\sqrt{\left| x\right|}\sqrt{\left| y\right|}$
Теперь мне нужно посчитать частную производную по $x$ для начала.
Собственно на этом и остановился сейчас. Стоит ли мне расписывать случаи или не трогать модуль ?

[mihaild]

Вопрос, как доказать, что условие Коши-Римана выполнено, или что производной не существует?

Если первое - то формально найдите $\frac{\partial u}{\partial x} \lef(0, 0)$ - просто по определению, через предел при $\Delta x \to 0$. Что в этом случае получится в числителе дроби под пределом?

[DeBill]

Danmir в сообщении #1125931 писал(а):

Теперь мне нужно посчитать частную производную по $x$ для начала.
Собственно на этом и остановился сейчас. Стоит ли

Не стоит. А стоит воспользоваться точным определением частной производной...

(Оффтоп)

Вообще то, это типовая студенческая ошибка: в мозгах у них определение лежит на одной полке, а навыки вычисления частных производных - на другой, причем ближе...Давайте введем промежуточную полку: для вычисления частной производной, сначала подставляем все координаты, кроме одной, дифференцируем по ей, и уж тада подставляем ейную к-ту... И все равно, определение надо знать...

-- 25.05.2016, 16:37 --

А, уже есть...

[Danmir]

По определению
$\frac{\partial u}{\partial x} (0,0)= \lim_{ \Delta x\to 0} \frac{\sqrt{\left|0+\Delta x\right|}\sqrt{\left|0\right|}-\sqrt{\left|0\right|}\sqrt{\left|0\right|}}{\Delta x}=0$
Так как симметрично входит $\frac{\partial u}{\partial y} (0,0)=0$
$\frac{\partial v}{\partial y} (0,0)=0$
$\frac{\partial v}{\partial x} (0,0)=0$
Получается, что условие Коши-Римана выполняется в точке $(0,0)$. Как в таком случае показать, что производная не существует ?

[Brukvalub]

Например, взять производную по направлению диагонали $x=y$ .

[Danmir]

Brukvalub
Правильно ли я понимаю, что нужно делать так: $u(x,y)=\dot{u}_{x}(0,0)\Delta x+\dot{u}_{y}(0,0)\Delta y+O(\sqrt{x^2+y^2})$
Из-за того, что смотрим в $(0,0)$ - имеем $\frac{\sqrt{|xy|}}{\sqrt{x^2+y^2}}$
Далее $ \lim_{x\to 0 ,x=y} \frac{\sqrt{|xy|}}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{\sqrt{|xx|}}{\sqrt{x^2+x^2}}=\frac{|x|}{\sqrt{2}\sqrt{x^2}}$

[Brukvalub]

Да, это один из правильных подходов.

[Danmir]

Brukvalub
Тогда получаем, что предел $\lim_{x\to 0 ,x=y} \frac{\sqrt{|xy|}}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{\sqrt{|xx|}}{\sqrt{x^2+x^2}}=\frac{|x|}{\sqrt{2}\sqrt{x^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$
Берем предел по другой оси: $ \lim_{y\to 0 ,x=0} \frac{\sqrt{|xy|}}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{\sqrt{|0|}}{\sqrt{0+y^2}}=0$
Получаем что пределы по осям не совпадает и тогда не существует $ \lim_{y\to 0 ,x\to 0}u(x,y)$ ?

[Brukvalub]

Danmir в сообщении #1126039 писал(а):

Получаем что пределы по осям не совпадает и тогда не существует $ \lim_{y\to 0 ,x\to 0}u(x,y)$ ?

"...а кончил за упокой"

[Danmir]

Brukvalub
Ну с разных сторон подходим, а получаем разное, значит предела одновременно с обоих сторон нет же ?

[Brukvalub]

Разве выше мы обсуждали предел функции $u$ ?

[Danmir]

Brukvalub
По идее я расписывал $u(x,y)=\dot{u}_{x}(0,0)\Delta x+\dot{u}_{y}(0,0)\Delta y+O(\sqrt{x^2+y^2})$ и так как $v(x,y)=0$ получаем, что производной в $(0,0)$ у функции $f(z)$ не существует

[Brukvalub]

Danmir в сообщении #1126048 писал(а):

По идее я расписывал

И, все-таки, есть ли

Danmir в сообщении #1126039 писал(а):

$ \lim_{y\to 0 ,x\to 0}u(x,y)$ ?

[Danmir]

Brukvalub
Пока не понимаю, хотели же посчитать $ \lim_{y\to 0 ,x\to 0}u(x,y)$. Для этого рассмотрели разные подходы к точке $(0,0)$. Получились различные пределы, тогда имеем, что предела нет.

[Brukvalub]

Danmir в сообщении #1126061 писал(а):

имеем, что предела нет.

Во как, оказывается, все запущено!