Лагранжиан и теория цепей

[powerZ]

Помогите разобраться с тем как составлять уравнения Эйлера-Лагранжа для электрических цепей! Начнем с простейшего примера. Пусть есть источник ЭДС $E$ от которого через резистор $R$ заряжается конденсатор, емкостью $C$. Обычный способ решения простой. Записываем дифференциальное уравнение:
$C\cdot u'(t)=\frac{E-u(t)}{R}$
где $u(t)$ - напряжение на конденсаторе
Откуда получаем решение:
$u(t)=u(0) \cdot e^\frac{-t}{\tau}+E\cdot(1-e^\frac{-t}{\tau})$
где $\tau=C \cdot R$

Теперь через Лагранжиан. Что нужно минимизировать? Сначала я подумал, что надо минимизировать потери в $R$. Тогда функционал энергии потерь в $R$ запишется в виде:
$W=\int_{0}^{\infty} F dt$,
где

$F=i^2 R $ - Лагранжиан,
$i$ - ток в резисторе $R$.
поскольку $i=\frac{E-u(t)}{R}$,
то получим для производной по $u$:
$\frac{\partial F}{\partial u}= -2 \frac {E-u(t)}{R} $
одновременно
$i= C u'(t) $
значит
$\frac{\partial F}{\partial u'}=2 R C^2 u'(t)$

Теперь запишем уравнение Эйлера-Лагранжа:
$\frac{\partial F}{\partial u} - \frac{d}{dt} \frac{\partial F}{\partial u'}=0$

Получается:
$-2 \frac {E-u(t)}{R} - \frac{d}{dt} 2 R C^2 \frac{du}{dt}=0$
или
$ (R C)^2 u''(t)=- (E-u(t))$
Совершенно не тот дифур, что был в начале! Значит я что-то сделал не так.
Вторая попытка была - минимизировать потребляемую энергию от источника. Но тоже получилась ерунда. Уравнение Эйлера-Лагранжа в этом случае:
$ \frac E R - \frac{d}{dt} C E = 0$
вообще не содержит переменой $u(t)$!
Плз, направьте на путь истинный!

[peregoudov]

Направляю. Есть лагранжииан электродинамики $L\sim B^2-E^2$. Поскольку электрическое поле в основном в конденсаторах, а магнитное --- в катушках, попробуем $L=\sum(LI^2\!/2-q^2\!/2C)$. Обобщенные координаты --- заряды на конденсаторах, обобщенные скорости --- токи в ветвях. Если в какой ветви конденсатора нет, можно представить, что туда включен конденсатор бесконечной емкости. Для колебательного контура из уравнений Лагранжа

$$ \frac d{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}-\frac{\partial L}{\partial q_i}=0 $$

получается правильное уравнение $L\ddot q+q/C=0$.

Если хочется включить сопротивления, то система будет уже не лагранжева. Введем диссипативную функцию Релея $R(\dot q)$ и диссипативные силы в уравнения Лагранжа

$$ \frac d{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}-\frac{\partial L}{\partial q_i}=-\frac{\partial R}{\partial\dot q_i}. $$

Поскольку в силу модифицированных уравнений производная энергии

$$ \frac d{dt}\left(\sum_i\dot q_i\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}-L\right)=-\sum_i\dot q_i\frac{\partial R}{\partial\dot q_i}, $$

а джоулево тепло равно $\sum I^2R$, то диссипативная функция равна

$$ R=\sum I^2R/2. $$

Источникам соответствуют члены типа $Eq$ в лагранжиане.

Вроде бы так, надо только перепроверить.

[powerZ]

Да, спасибо за разъяснения, у меня получается теперь правильное решение:

$F=-\frac{u^2 C}{2} + E \cdot u \cdot C$ - Лагранжиан
$\frac{\partial F}{\partial u}= - u \cdot C + E \cdot C$
$\frac{\partial F}{\partial u'}=0$

$D=\frac {(C u')^2 R}{2}$ - диссипативная функция
$\frac{\partial D}{\partial u'}=C^2 u' R$

уравнение Эйлера-Лагранжа:

$\frac{\partial F}{\partial u} - \frac{d}{dt} \frac{\partial F}{\partial u'}=\frac{\partial D}{\partial u'}$

получается:
$ E \cdot C - u(t) \cdot C = R \cdot C^2 u'(t)$

Всё правильно. Задам только еще пару вопросов:
Диссипативная функция вводится, когда есть потери? И она представляется в виде половины мощности потерь? А почему? Также мне не вполне понятно минимум какой энергии ищется в общем случае. В моем примере, согласно приведенному вами рецепту, получилось что минимизируется разность потребленной от источника энергии и запасенной энергии в емкости. Но ведь это потери в резисторе? Значит я мог бы получить правильный ответ и в моём первом постинге, если бы учел диссипативный член. Кстати, это немного странно, что минимизируются потери в резисторе (с физической точки зрения). Потому что например в задачах по скин-эффекту, потери вовсе не минимальны. Хотя, конечно, пример пока взят очень простенький.

Добавлено спустя 28 минут 22 секунды:

Да, и самое главное! Как теперь найти решение, то есть получить $u(t)$ через Лагранжиан?
Очевидно, нужно искать экстремум функционала:
$W=\int_{0}^{t} F dt$

[powerZ]

powerZ писал(а):

Очевидно, нужно искать экстремум функционала:

Нет так не получается. Построив правильную траекторию по формуле в 1-м постинге, я стал сравнивать значения, вычисленные для указанного функционала для нее, а также для различных других произвольных траекторий. И оказалось, что "правильная" траектория вовсе не дает минимума этого функционала

Тогда я пошел дальше и построил кривые для энергий для правильной траектории и для произвольных траекторий, которые я сам задавал в виде кусочно-линейных функций. К сожалению сейчас не имею возможности выложить картинки. Вобщем вот что оказалось. Для "правильной" траектории разность между потребленной энергией от источника и энергией запасенной в емкости в точности равна энергии теряемой в R (что естественно). Однако для "произвольной" траектории это равенство не соблюдается. Таким образом можно предположить, что нужно минимизировать разность между потребленной энергией и энергией запасенной в реактивности плюс теряемой в активном сопротивлении (брать надо модуль этой разности) Вот как только это сформулировать? В терминах Лагранжевого подхода естественно.

Добавлено спустя 12 минут 32 секунды:

Re: Лагранжиан и теория цепей

так что ли?

$W=| F-\int_{0}^{t} 2 D dt |$

где

$F=E \cdot u \cdot C - \frac{u^2 C}{2}$ - Лагранжиан
$D=\frac {(C u')^2 R}{2}$ - диссипативная функция

[abc_qmost]

powerZ писал(а):

Помогите разобраться с тем как составлять уравнения Эйлера-Лагранжа для электрических цепей

Посмотрите еще 8-й том Ландау-Лифшица (параграф: Емкость в цепи квазистационарного тока). Там есть информация про функцию Лагранжа и уравнения Лагранжа.

[powerZ]

Спасибо, посмотрел. Ничего особенного не нашел. Просто констатируется схожесть уравнений, описывающих колебания в L-R-C контуре с механической системой, и дается интерпретация терминов Лагранжевой механики для этого процесса. Вообще меня бы интересовала более общая формулировка. Сейчас мое представление о Лагранжевом подходе такое: допустим есть некий процесс, описываемый дифференциальным уравнением. Решая его можно получить уравнение движения, то есть некую траекторию. Я так понимаю, что для любого реального физического процесса работает некий принцип наименьшего действия, который обеспечивает движение по этой "правильной" траектории. Этой "правильной" траектории можно сопоставить некий функционал, дающий наименьшее значение. Любые другие траектории не будут удовлетворять принципу наименьшего действия, и следовательно им будут соответствовать значения функционала, отличные от минимального. Подход Лагранжа, как мне представляется, заключается в том, чтобы найти траекторию движения минимизируя этот функционал. Может намного путанно изложил, если что не верно, поправьте. Но вот принципы формулирования, а также методы нахождения этого минимума мне не вполне ясны. Вот где бы почитать про это в более общем виде?

[abc_qmost]

powerZ писал(а):

...Подход Лагранжа, как мне представляется, заключается в том, чтобы найти траекторию движения минимизируя этот функционал...

Тогда начните со 2-го параграфа 1-го тома (а в Ландау-Пятигорском даже рисуночек есть). Мне только непонятно, зачем Вам это нужно. Судя по Вашим высказываниям и рисунку "хрюши", Вы очень толковый человек с чувством юмора. А так и в дискуссионные темы можно залезть. Там водятся очень прилюбопытные экземпляры.

[powerZ]

abc_qmost писал(а):

Мне только непонятно, зачем Вам это нужно.

Нет, я не прикалываюсь, если вы об этом, я на самом деле хочу разобраться и научиться применять это, если окажется полезным конечно. Просто теоретическая механика это очень далеко от моей специальности, я даже не уверен было ли что либо по Лагранжиану в моем институтском курсе физики. Такой вот пробел. Видимо придется предпринять экскурс в механику (пойду качать 1-й том). Надеюсь если что, здесь мне помогут, мехмат все таки? Только у меня сложилось впечатление, что подход Лагранжа это более широкое понятие, чем просто теор. механика. С точки зрения математики, где это обсуждается вообще, в теории оптимизации?

[abc_qmost]

powerZ писал(а):

[..я на самом деле хочу разобраться и научиться применять это, если окажется полезным конечно...

Тогда копайте глубже. Довольно часто очень полезно уравнения Эйлера-Лагранжа записать в виде уравнений Гамильтона (в Ландау тоже это есть), что Вам позволит , например,использовать канонические преобразования и теорию Гамильтона-Якоби.

[powerZ]

Напишу как я закончил с RC цепочкой. Действие запишется так:

$W=| E \cdot C \cdot u(t) - \frac{u(t)^2 C}{2} -\int_{0}^{t} \frac{ (E - u(t))^2 }{R} dt |$

Это функционал, отражающий баланс энергии в системе: потребленная энергия от источника равна запасенной энергии в конденсаторе и теряемой в резисторе. Задача найти u(t), так чтобы функционал имел минимальное значение. Пусть граничные условия известны $u(\infty)=E$, $u(0)=0$, тогда решение будем искать в виде:

$u(t)=(1-e^{-a \cdot t}) \cdot E $

Берем произвольный фиксированный момент времени to и начинаем варьировать параметр a. При W=0 получаем его искомое значение.

Конечно для RC цепочки получилось найти точное решение, интереснее наверно было бы искать параметры аппроксимации для более сложного случая, например затухающих колебаний на фоне экспоненты. Тогда вместо истинного решения можно было бы искать некую аппроксимацию, удовлетворяющую минимуму функционала действия.

P.S. Не уверен, что это точно соответствует методу Лагранжа, в том виде как это изложено в Механике Ландау (там все же рассматриваются в основном консервативные системы), но надеюсь, что принцип нахождения решения (сам подход) я понял правильно.