Раскрытие несобственного интеграла

[Lia]

SPgum в сообщении #1125272 писал(а):

вот то уравнение, которое получилось в окончательном виде
$y(x)=f(x)+\int_{0}^{\infty} \frac {kz^2+4} {z^4+kz^2+4} \int_{0}^{d} {y(t)\cos zt}\,dt{\cos zx}\,dz$

И что, Вы его решать собираетесь? Прямо аналитически?
Положим.
Возможно, я чего-то не понимаю.
Какое отношение к решению этого уравнения имеет вычисление интеграла на предыдущих двух страницах?

[SPgum]

Раскрыв интеграл я получаю функцию зависящую от аргументов
$x$ и $t$
Таким образом, первый раскрытый интеграл будет представлять подынтегральное выражение для второго интеграла, где в качестве параметра выступает $t$
Далее, если не удастся в явном виде раскрыть интеграл то получу интегральное уравнение с вырожденным ядром.

[DeBill]

SPgum
У Вас арифметическая ошибка при вычислении дискриминанта.
И еще: корни надо будет по разному извлекать - в зависимости от того, $k>4$ или нет.
А ядро и правда получится вырожденным, так что Ваша $y(x)$ и в самом деле есть $f(x) +A\cos (ax) + B\cos (bx)$, где $a,b$ - те самые особые точки, лежащие выше...

[DeBill]

А, просто в дискриминанте формула набрана неаккуратно...
И, по мнимости корней, косинусы станут гиперболическими...

[SPgum]

Большое спасибо.
Извините, может я и вправду чего-то не понимаю, но я не вижу ошибки в представленном корне квадратного уравнения. Я ведь потом извлекал из них корни (по правилам ТФКП) и даже проверял различными онлайн программами все четыре корня совпали полностью). Два корня оказались в верхней полуплоскости и два в нижней! Единственное условие, что коэффициент меняется от нуля до примерно нуля целых восьмидесятых.

-- 23.05.2016, 17:11 --

Я конечно могу привести окончательный вид получившейся функции, но я проверял, все вроде совпало со значениями вычисления интеграла в онлайне.

-- 23.05.2016, 17:20 --

Честно говоря, меня сейчас очень интересует вопрос связанный с отрицательным значением. Я понимаю про четность косинуса, но..... базовых представлений о правилах в вычетах, увы не хватает.

[Lia]

SPgum в сообщении #1125414 писал(а):

Честно говоря, меня сейчас очень интересует вопрос связанный с отрицательным значением. Я понимаю про четность косинуса, но..... базовых представлений о правилах в вычетах, увы не хватает.

При чем тут вычеты. Они к четности косинуса не имеют отношения. Сделайте из отрицательного положительное, раз Вам не нравится отрицательное, и можно будет больше не интересоваться.

[SPgum]

Вообще-то я интересовался тем, что если у $\cos ax$ аргумент $a<0$, то имею ли я право по аналогии с формулой приведенной на стр 233 "Лекции по ТФКП" Сидорова, Федорюка поставить знак "-" перед $2\pi\iota$ и дальше проводить те же самые выкладки, но с оставшимися двумя корнями, которые автоматически оказываются лежащими в нижней полуплоскости??? Я вроде не выражал своего отношения к отрицательному... и вопрос был связан именно с тем, что в приводимом ранее варианте - косинус был представлен экспонентой

[DeBill]

SPgum в сообщении #1125623 писал(а):

поставить знак "-" перед $2\pi\iota$ и дальше проводить те же самые выкладки, но с оставшимися двумя корнями

Ответ: да.

[SPgum]

Спасибо!
Буду разбирать!

[SPgum]

Здравствуйте
Внесите пожалуйста ясность!
Мне неоднократно было замечено про четность функции $\cos ax$

Lia в сообщении #1125423 писал(а):

При чем тут вычеты. Они к четности косинуса не имеют отношения. Сделайте из отрицательного положительное, раз Вам не нравится отрицательное, и можно будет больше не интересоваться

Вопрос - почему в справочнике Градштейна Рыжика при раскрытии интеграла вида

$$\int_{0}^{\infty} \frac{\cos (ax) }{b^4 +x^4}dx$$

Задается условие $a>0$ и $b>0$
Если все так просто, то Вопрос именно относительно $a>0$

[DeBill]

SPgum
По той же самой причине, по которой в таблице интегралов нет интеграла от $\cos (-x)$...
Я полагаю, что Вам сильно хочется поиметь формулу, годную и для отрицательных $a$. Без проблем: замените в своих формулах $a$ на $\left\lvert a\right\rvert$.

(Оффтоп)

Модератор Liaвыпала в осадок ушла в отпуск от Ваших вопросов ...

[SPgum]

Спасибо!
Да, Вы правы -хотелось бы!
Именно так как Вы написали и было представленно раскрытие одного из интегралов (на лекциях которые нам читали в ВУЗе) т.е введен знак модуля!
Просто я немогу связать воедино (скорее осознать) четность функции, и движение по контуру при использовании вычетов. Сами арифметическиедействия понятны, но ведь я не имею право просто использовать четность, а обязан задействовать модуль!!!
Извините, если изложил несколько косноязычно!

-- 04.06.2016, 21:45 --

Хотя!!!
Если я правильно понял, то поскольку раскрытие интеграла содержит нечетные функции следовательно, чтобы не нарушить условия я и обязан использовать модуль?

[SPgum]

Здравствуйте Уважаемые форумчане!
В продолжении темы сталкнулся вот с такой проблеммой:
имется интеграл вида

$$\int_{0}^{\infty} \frac{\cos(ax)}{x^4+b^4} dx$$

Он легко находится, если функцию cos(ax) представить как $e^\(iax\)$ и далее рассматривается интеграл вида

$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^\\(iaz)}{z^4+b^4}dx$$

Затем вычисляются два вычета и полученное выражение, вообще не содержит мнимой части (и полностью совпадает с выражением из Градштейн Рыжик)
Вопрос состоит в том, как быть, если в числителе стоит sin(ax), а не cos(ax) ?
Ведь тогда интеграл от минус до плюс бесконечности обнуляется, а если считать как сумму от минус бесконечности до нуля и от нуля до плюс бесконечности, то у каждого из интегралов пропадает мнимая часть.
Возможно я ошибаюсь, когда использую два вычета? Может, я должен использовать только один (в первой четверти), поскольку рассматривается участок от нуля до бесконечности.
Wolfram численно вычисляет, что в отдельности каждый интеграл на участке содержит мнимую часть (которая при сложении обнуляется)
Подскажите пожалуйста путь решения?

[Singular]

Прочитав прошлогодние обсуждения, предложу, как мне кажется, более простой способ вычисления интеграла вида

$$I_1=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{\cos{ax}}{x^4+kx^2+b}\,dx.$$

Используя замену $k=2r^2\cos{2\varphi}$ и $b=r^4$, интеграл сводится к табличному

$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{\cos{ax}}{x^4+kx^2+b}\,dx=-\frac{1}{r^2\sin{2\varphi}}\mathrm{Im}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{\cos{ax}}{x^2+\omega^2}\,dx=$$

$$=-\frac{\pi}{ar^2\sin{2\varphi}}\mathrm{Im}\,e^{-a\omega}=-\frac{\pi}{ar^2\sin{2\varphi}}e^{-ar\cos\varphi}\sin\left(ar\sin\varphi\right),$$

где $\omega=re^{i\varphi}$ - комплексная константа.

В Вашем случае, $b=4$ и $0<k<0.75$. Что касается интеграла вида

$$I_2=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{x^2\cos{ax}}{x^4+kx^2+b}\,dx,$$

то можно получить следующее $I_2=-\dfrac{d^2I_1}{da^2}.$

По поводу Вашего крайнего вопроса, могу предположить, что ничего такого "чистенького" не получится, результат будет содержать интегральную показательную функцию или ещё что-нибудь подобного рода.

[SPgum]

Здравствуйте!
Благодарю Вас за вариант сведения интеграла к табличному значению (обязательно сравню с тем, что получилось в моем расчете). Кстати, он дает те же значения, что Wolfram matematic.
Досадно, что похоже не получится получить аналитический вид для синуса. Тот же Wolfram matematic выдает какую-то невообразимую функцию!!!
Разложение синуса на экспоненты тоже дает обнуление мнимой части!!!!