Раскрытие несобственного интеграла

[alcoholist]

ewert
^)

[SPgum]

Вообще-то задача совсем не учебная!
Поскольку является составной частью задачи о балке лежащей надвухпараметрическом основании и решение дифура не привело к табличному значению интеграла! Если бы все было так просто, то раскрытие интеграла такого вида, давно вошло в справочники. А в перечисленной вами литературе отражены лишь наиболее общие подходы!!!!!

-- 03.05.2016, 23:57 --

Кстати коэффициент $k$ по смыслу задачи (как коэффициент сцепления грунта меняется от нуля до примерно 0,75

[SPgum]

Если я правильно понял, то один корень будет лежать в верхнй полуплоскости, а второй в нижней. При подсчете вычетов используется только корень лежащий только в верхней полуплоскости т.е.

$$x^2=-\frac {k}{2}+\iota\sqrt{4-\frac {k}{2}^2}$$

В результате подстановки получим решение в виде уравнения

$$\frac {F+\iota{N}}{R+\iota{G}}$$

где F, N, R и G -длинющие многочлены!!! Если эту дробь каким-то образом, (буду признателен если подскажитете путь ) можно представить в виде комплексного числа, то значением интеграла будет только слагаемое, которое отвечает действительной части т.е Re, а мнимая часть т.е многочлен при $\iota$ просто отбрасывается??? Я правильно понял?

-- 05.05.2016, 19:20 --

Если я правильно понял, то один корень будет лежать в верхнй полуплоскости, а второй в нижней. При подсчете вычетов используется только корень лежащий только в верхней полуплоскости т.е.

$$x^2=-\frac {k}{2}+\iota\sqrt{4-\frac {k}{2}^2}$$

В результате подстановки получим решение в виде уравнения

$$\frac {F+\iota{N}}{R+\iota{G}}$$

где F, N, R и G -длинющие многочлены!!! Если эту дробь каким-то образом, (буду признателен если подскажитете путь ) можно представить в виде комплексного числа, то значением интеграла будет только слагаемое, которое отвечает действительной части т.е Re, а мнимая часть т.е многочлен при $\iota$ просто отбрасывается??? Я правильно понял?

[ewert]

SPgum в сообщении #1121286 писал(а):

где F, N, R и G -длинющие многочлены!!!

Ну уж какие получаются -- такие и получаются. Во всяком случае, ответ выписывается во вполне явной форме.

SPgum в сообщении #1121286 писал(а):

Если эту дробь каким-то образом, (буду признателен если подскажитете путь ) можно представить в виде комплексного числа,

Во-первых, это уже комплексное число. Во-вторых (если серьёзнее), уж что-что, а уметь делить комплексные числа Вы обязаны.

SPgum в сообщении #1121286 писал(а):

Если я правильно понял, то один корень будет лежать в верхнй полуплоскости, а второй в нижней.

Неправильно поняли. Если 4 разделить на 2, то получится 2, а вовсе не 1.

[SPgum]

Согласен! Позор мне, это потому, что все хотел схитрить и упростить!!!
По поводу количества корней непростительная ошибка, добавляется для каждого "плюс" "минус" корень, а то и мнимая единица - это надо анализировать!
По поводу деления посмотрел Фукс Шабат ! Просто, сперва мне на глаза попался пример из интернета и не посмотрев на само правило, увидив только действия пришол к выводу, что к моим многочленам это трудно применить. (Последний раз имел дело с ТФКП лет 20 назад, когда учился в институте).
Но, хотя бы мое представление о том, что значением интеграла будет только слагаемое, которое отвечает действительной части т.е Re, а мнимая часть т.е многочлен при $\iota$ просто отбрасывается ВЕРНО???
И еще вопрос !!!
Насколько я понял, подинтегральная функция не являетя ни четной не нечетной!
Допустим я получил выражения для вычетов!
Имею ли я право, делить полученное значение на два и утверждать, что это значение интеграла, от нуля до бесконечности???

[SPgum]

Прошу прощения!Посмотрел не на ту функцию (кубическую)!!!
Подинтегральная функция являетя четной. Имею ли я право, делить полученное выражение вычисленного интеграла (от минус бесконечности до плюс бесконечности) на два и утверждать, что это и будет значение интеграла, от нуля до бесконечности???

[Brukvalub]

SPgum в сообщении #1121465 писал(а):

Подинтегральная функция являетя четной. Имею ли я право, делить полученное выражение вычисленного интеграла (от минус бесконечности до плюс бесконечности) на два и утверждать, что это и будет значение интеграла, от нуля до бесконечности???

Сами-то как думаете?

[SPgum]

Ну, в силу четности подынтегральной функции и по аналогии с косинус преобразованием Фурье, думаю что это будет верно! Тем более, что по любому будь-то определенный интеграл или несобственный, он представляет площадь!!!

[Brukvalub]

Зачем же спрашиваете? Подобные вопросы не вызывают восхищения вашей образованностью и сообразительностью. Наоборот, они вызывают недоумение: а что пользователь с ТАКИМИ вопросами делает в математике-физике?

[SPgum]

Просто при раскрытии интеграла использовалась теория вычетов, в которой я не силен! И в литературе мне встретились приведены примеры раскрытия интегралов от минус до плюс бесконечности! А поскольку, получившееся значение мне будет необходимо загонять под новый интеграл, то я решил подстраховаться и спросить!!!

-- 06.05.2016, 17:20 --

Но, хотя бы мое представление о том, что значением интеграла будет только слагаемое, которое отвечает действительной части т.е. Re, а мнимая часть т.е многочлен при $\iota$ просто отбрасывается ВЕРНО???

[Brukvalub]

Верно.

[SPgum]

Спасибо! Хотябы это радует!!!

[SPgum]

Здравствуйте!
Большое спасибо за помощь!
Ура!!! Наконец раскрытие этого интеграла из "простой учебной задачи" в своей аналитической форме дало совпадение с онлайновым значением. Отдельно спасибо за рекомендацию относительно "Лекции по ТФКП" Сидорова, Федорюка, Шабунина, действительно там на 234 разбирается ход решения схожего интеграла.

И все же вопрос!!!
Если у $cosax$ аргумент $a<0$, то имею ли я право по аналогии с формулой приведенной на стр 233 "Лекции по ТФКП" Сидорова, Федорюка поставить знак "-" перед $2\pi\iota$ и дальше проводить те же самые выкладки, но с оставшимися двумя корнями, которые автоматически оказываются лежащими в нижней полуплоскости???

[Lia]

SPgum в сообщении #1125249 писал(а):

Если у $cosax$ аргумент $a<0$

А что там с четностью у косинуса?
SPgum
С какой целью Вы решаете эту задачу, если не секрет?
Она действительно простая - с идейной точки зрения. Что там корни поганые - это к процессу решения не имеет никакого отношения и вносит только технические трудности. Именно поэтому одним из первых прозвучал совершенно нормальный - для использования в практических целях результата - считать в матпакетах.
Впрочем, это уже обсуждалось.

[SPgum]

В кратце суть в следующем!
Изгиб бесконечной плиты лежащей на основании описывается диффуром учитывающим реакцию грунта.
Под частью бесконечной плиты нет основания (это обстоятельство учитывается введением функции Хевисай). К уравнению применяется последовательно косинус преобразование Фурье и выражение функции прогибов будет представленно двойным интегралом у которого функция получается зависит от переменной х и другой переменной учитывающей отсутствие грунта под частью плиты!!!
В принципе могу постараться написать общий вид (просто пока долго получается вводить обозначения)

-- 22.05.2016, 23:15 --

Просто, цель получить именно аналитическое решение - эта задача была решена для другой модели основания, а мне нужно адаптировать решение к более точной (несколько усложненной) модели...

-- 22.05.2016, 23:50 --

вот то уравнение, которое получилось в окончательном виде
$y(x)=f(x)+\int_{0}^{\infty} \frac {kz^2+4} {z^4+kz^2+4} \int_{0}^{d} {y(t)\cos zt}\,dt\,{\cos zx}\,dz$
используя преобразование произведения тригонометрических функций в сумму получил
$\cos z(x-t)$ и $\cos z(x+t)$ и представил
$x-t=a$
поэтому возможны два случая когда
$x<t$ и когда $x>t$

Lia: Функции типа синус, косинус, логарифм и т.п. набираются так: \sin x, \cos x
Исправлено.