Матрица лин. преобразования - проектирования на под. пр-во

[-Sofiko-]

Подпространство $W$ четырехмерного евклидова пространства задано в некотором ортонормированном базисе системой лин. ур-й.
1) Найти матрицу линейного преобразования - заключающегося в ортогональном проектирования пространства на $W$
2) Указать собственные числа\векторы
3) Описать ядро и образ
$ $$\left\{ \begin{array}{rcl} x_1+x_2-8x_3-8x_4&=0& \\ x_1+x_2-5x_3-5x_4&=0& \\ \end{array} \right.$$$
Я думаю, надо найти базис у системы, и применить процесс ортогонализации Грама — Шмидта... Только к чему применить... Подскажите)

[B@R5uk]

Два вектора вашего подпространства угадываются что называется методом вдумчивого взгляда (подсказка: координаты у них единицы и нули). И они уже оказываются ортогональны. Вам остаётся только записать матрицу проектирования (сумма произведений столбцов на строки и на собственные числа). Собственные числа выбираются произвольно, так что ваша задача, вообще говоря, имеет не единственное решение.

-- 22.05.2016, 23:04 --

А нет, вру. Проектирование ортогональное, так что собственные числа должны быть единицами, и задача имеет единственное решение. Пары столбцы-строки надо только отнормировать.

[-Sofiko-]

B@R5uk в сообщении #1125245 писал(а):

Два вектора вашего подпространства угадываются что называется методом вдумчивого взгляда (подсказка: координаты у них единицы и нули). И они уже оказываются ортогональны. Вам остаётся только записать матрицу проектирования (сумма произведений столбцов на строки и на собственные числа). Собственные числа выбираются произвольно, так что ваша задача, вообще говоря, имеет не единственное решение.

-- 22.05.2016, 23:04 --

А нет, вру. Проектирование ортогональное, так что собственные числа должны быть единицами, и задача имеет единственное решение. Пары столбцы-строки надо только отнормировать.

$ $\left\{ \begin{array}{rcl} x_1+x_2-8x_3-8x_4&=0& \\ x_1+x_2-5x_3-5x_4&=0& \\ \end{array} \right.$
Нашли решение системы $X = t_1$$\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ -1\\ 1 \end{pmatrix}$$ + t_2 $$\begin{pmatrix} -1\\ 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$$$
Скалярное произведение этих векторов - 0, значит ортогональны. Как дальше?

[Lia]

А дальше быстро-быстро вспоминать, как работает оператор ортогонального проектирования, пока тема сама собой в Карантин не убежала. Все-таки второй раз за день провисать на уровне определений - это слишком.