Найти матрицу линейного преобразования

[-Sofiko-]

В базисе, в котором записаны уравнения подпространств, найти:
1) матрицу линейного преобразования $\varphi$ трехмерного геометрического векторного пространства;
2) собственные числа\векторы;
3) описать ядро\образ;
Если $\varphi$ есть симметрия относительно прямой $\begin{cases} x=2t,\\ y=t,\\ z=-t \end{cases}$
параллельно плоскости $x-3y-6z = 0$

1) Я думаю, симметрия относительно прямой параллельно плоскости это то же самое, что и симметрия относительно плоскости, проходящей через прямую, перпендикулярной плоскости $x-3y-6z = 0$
Поэтому, берем точку на прямой, ее направляющий вектор, вектор нормали данной плоскости и записываем уравнение. Получилось $-9x+11y-7z = 0$
Далее, базис пространства у нас $e_1 = \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} e_2 = \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} e_3 = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}$
Далее, берем нормаль плоскости $-9x+11y-7z = 0$ и пишем уравнение прямой (перпендикуляра) через точку $M_1=(1;0;0)$ и вектор $n = (-9;11;-7)$

Ищем точку пересечения это прямой с плоскостью $-9x+11y-7z = 0$ Получилось $(\frac{8}{17};\frac{11}{17};\frac{7}{17})$

И по формуле деления отрезка пополам находим точку симметричную $M_1$ Получилось $(\frac{-1}{17};\frac{22}{17};\frac{14}{17})$
Аналогично для остальных базисных векторов.

Получаем матрицу лин. преобразования $\varphi = \begin{pmatrix} \frac{-1}{17} & \frac{198}{251} &\frac{14 }{17}\\ \frac{22}{17} & \frac{7}{251} &\frac{-126}{251} \\ \frac{14}{17} & \frac{154}{251} &\frac{154}{251} \end{pmatrix}$
И это какая-то жуткая вещь, если начать искать характеристический многочлен, там получаются огромные коэффициенты у кубического уравнения, и уравнение с комплексными корнями

Похоже, ошибка в самом начале, симметрия относительно прямой параллельно плоскости - это не то что я думаю, помогите разобраться =)

[Otta]

-Sofiko- в сообщении #1125091 писал(а):

думаю, симметрия относительно прямой параллельно плоскости это то же самое, что и симметрия относительно плоскости, проходящей через прямую, перпендикулярной плоскости $x-3y-6z = 0$

Нет, это разное - в той же мере, в какой вообще разное симметрия относительно прямой и плоскости. Нарисуйте на картинке сперва, посмотрите, что происходит.

[-Sofiko-]

Otta в сообщении #1125100 писал(а):

-Sofiko- в сообщении #1125091 писал(а):

думаю, симметрия относительно прямой параллельно плоскости это то же самое, что и симметрия относительно плоскости, проходящей через прямую, перпендикулярной плоскости $x-3y-6z = 0$

Нет, это разное - в той же мере, в какой вообще разное симметрия относительно прямой и плоскости. Нарисуйте на картинке сперва, посмотрите, что происходит.

Я уже и нарисовала, и посмотрела, и мне показалось что это симметрия относительно плоскости. Как быть и как думать дальше, я не знаю. Намекните.

[Otta]

Что ж тут намекать. Нарисуйте еще раз.

Давайте так: есть ось $z$ и плоскость $z=0$ в трехмерном пространстве. Куда переходит точка $(1,2,3)$ при симметрии относительно этой прямой параллельно этой плоскости?

[iifat]

Некое обобщение двумерного случая. Как по мне, опускаем из точки перпендикуляр на прямую, продолжаем за точку пересечения, откладываем от неё равное расстояние — и вот он, светлый образ. Всего лишь мнение, определений не помню. И нет, это никоим образом не симметрия относительно плоскости, хотя похоже.

[-Sofiko-]

Otta в сообщении #1125108 писал(а):

Что ж тут намекать. Нарисуйте еще раз.

Давайте так: есть ось $z$ и плоскость $z=0$ в трехмерном пространстве. Куда переходит точка $(1,2,3)$ при симметрии относительно этой прямой параллельно этой плоскости?

Может быть так, что не все точки можно отобразить симметрично прямой, параллельно плоскости?
Я вот представляю себе: плоскость $z = 0$ прямая над это плоскостью и точка где-то в сторонке от прямой, такая, что не возможно опустить из этой точки перпендикуляр на прямую, параллельный $z = 0$

[Otta]

-Sofiko- в сообщении #1125116 писал(а):

прямая над это плоскостью

Чего это она "над"?

[-Sofiko-]

Otta в сообщении #1125118 писал(а):

-Sofiko- в сообщении #1125116 писал(а):

прямая над это плоскостью

Чего это она "над"?

Прямая проходит через точку $(0;0;0)$ там где $x,y>0$ она под графиком $z=0$ где $x,y<0$ она над графиком.
Ну не все точки я смогу отобразить симметрично, параллельно плоскости. Как быть.

[Otta]

Эм... а что такое симметрия относительно прямой вообще?
Вон там iifat почитайте выше, раз такие дела. :(

[-Sofiko-]

Otta в сообщении #1125126 писал(а):

Эм... а что такое симметрия относительно прямой вообще?
Вон там iifat почитайте выше, раз такие дела. :(

Я понимаю что такое симметрия относительно прямой.
Опускаем перпендикуляр из точки на прямую, считаем расстояние от точки до точки пересечения с другой стороны прямой откладываем это же расстояние.
Как выглядит симметрия ПАРАЛЛЕЛЬНО плоскости?
Если точка и точка пересечения с прямой не лежат в плоскости параллельной данной, то никакой симметрии не получится. (

[Otta]

-Sofiko- в сообщении #1125130 писал(а):

Опускаем перпендикуляр из точки на прямую,

Это если плоскость - перпендикулярна прямой. То есть Вы строите точку, симметричную относительно прямой, проецируя ее на прямую вдоль плоскости.
Вот и для любой другой (не параллельной прямой) плоскости - так же. Только не все они перпендикулярны прямой, поэтому проектирование не всегда будет идти по перпендикуляру.

А суть симметрии останется. Берутся равные расстояния до и от.
Меняется только - где.

[Otta]

Вот, наваяла картиночку, раз слова не помогают. Хотя, имхо, было бы проще Вам определение найти.
И сравните с Вашей исходной интерпретацией.

Данные плоскость, прямая и точка выделены черным.

[-Sofiko-]

Otta в сообщении #1125148 писал(а):

Вот, наваяла картиночку, раз слова не помогают. Хотя, имхо, было бы проще Вам определение найти.
И сравните с Вашей исходной интерпретацией.

Данные плоскость, прямая и точка выделены черным.

Все, теперь понятно, спасибо.

[-Sofiko-]

В чем идея:
1) находим 2 точки принадлежащие данной плоскости,
2) берем точку пересечения данной прямой с данной плоскостью
3) строим вектора 2 вектора по точке пересечения и 2-м найденным точкам. С помощью этих векторов будем строить плоскость параллельную данной.
4) ищем точки пересечения построенной плоскости и данной прямой.
5) отображаем точку симметрично прямой.


1)Точки принадлежащие плоскости $M_1(6;0;1), M_2(0;2;-1)$ точка пересечения прямой и плоскости $M_3(0;0;0)$
2) Вектора $r_1(6;0;1), r_2(0;2;-1)$
Базисные вектора знаем, берем $e_1 = \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$ Строим плоскость по точке $(1;0;0)$ и векторам $r_1(6;0;1), r_2(0;2;-1)$
Получили $2x+6y-12z+2=0$
Точка пересечения данной прямой и найденной плоскости $(\frac{-2}{7};\frac{-1}{7};\frac{-1}{7})$

По формуле деления отрезка пополам ищем симметричную прямой точку
$\frac{-2}{7} = \frac{1+x}{2}; x = \frac{-11}{7}$
$\frac{-1}{7} = \frac{y}{2}; y = \frac{-2}{7}$
$\frac{-1}{7} = \frac{z}{2}; z = \frac{-2}{7}$
Аналогично для остальных векторов, получившиеся координаты записываем в столбцы матрицы линейного преобразования
1) $\varphi_e = \begin{pmatrix} -11/7 &12/7&24/7\\ -2/7 &-1/7&12/7\\ -2/7 & 6/7 & 5/7 \end{pmatrix}$

Собственные числа - находим характеристический многочлен, находим его корни.
$\begin{bmatrix} -11/7 - \lambda &12/7&24/7\\ -2/7 &-1/7- \lambda&12/7\\ -2/7 & 6/7 & 5/7 - \lambda \end{bmatrix} = - \lambda^3 - \lambda^2 + \lambda + 1 = 0$

Собственные числа $\lambda_1 = 1, \lambda_2 = -1$

Лямбду вставляем в матрицу, решаем систему уравнений
$\lambda = 1$
Решение $X = t\begin{pmatrix} 2\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 2\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} -$ собственный вектор. Аналогично ищем для другой лямбды.
3) Ядро - приравниваем матрицу л.п к нулю, решаем систему уравнений.
получили $ker\varphi = (0;0;0)$
Образ - базисные вектора матрицы л.п. Ранг у матрицы - 3, значит все столбцы базисные.
Т.е Образ - столбцы матрицы л.п