Васины часы

[Ktina]

На доске написано натуральное число. Каждую минуту Вася смотрит на часы и прибавляет к числу, написанному на доске, число минут на часах (и выписывает на доску результат, а предыдущее число стирает). Обязательно ли рано или поздно на доске появится квадрат натурального числа?

[DeBill]

А Вася может выбирать начальный момент отсчета?

[Ktina]

DeBill в сообщении #1125008 писал(а):

А Вася может выбирать начальный момент отсчета?

Согласно изначальному условию задачи, нет.
И всё же, можно рассмотреть оба случая.

[Shadow]

Если имет право выбрать начальный момент отсчета, конечно может добратся до квадрата. Иначе, запишем уравнение в виде:

$2(2y)^2-(2k+1)^2=8n-1$, где $n$ - первое число в некоторой серии

И если $8n-1$ делится на $5$ и на $59$, то решений не будет. Так как $2a^2-b^2$ делится на 5 только если и $a$ и $b$ делятся на 5. Аналогично с $59$ - оба они простые вида $8t \pm 3$

Но ввиду ограничении $k<60, \; 2k+1$ не может делится на $295$.

Или, в частности, при $n\equiv 37 \pmod{295}$ квадратов не будет. Первое число в следующей серии тоже будет иметь такой вид.

-- 22.05.2016, 13:22 --

Спокойно можно заменить 5 на 3 - оно тоже простое вида $8t\pm 3$