Вариационная формулировка

[specialist]

Читаю книгу Ж.К. Сабоннадьер Ж.Л. Кулон Метод конечных элементов и Сапр.
Автор рассматривает пример:
Пусть имеется систем дифференциальных уравнений:
$\frac{d^2A}{dx^2}-\alpha^2 A=1$
$\frac{dA(0)}{dx}=0=\frac{dA(1)}{dx}$
далее Автор пишет: вариационная формулировка связанна с задачей отыскания функции $A$ обеспечивающей оптимум функционала:
$F(A)=0.5\int_{0}^{1} ((\frac{dA}{dx})^2 +\alpha^2 A^2 +2A ) dx$
и далее работает уже с подынтегральным выражением.
Так вот вопрос: как выведена вариационная формулировка, вообще желательно узнать алгоритм как из любой системы дифференциальных уравнений получить вариационную формулировку задачи, во всех учебниках по МКЭ, она берется как кролик из шляпы без ссылок на автора примера. Можете тыкнуть в нужную литературу, или подсказать что нужно сделать?

[Red_Herring]

Уравнение записано неверно (д.б. 2ая производная)

Возьмите любой учебник по вариационному исчислению

[specialist]

Red_Herring в сообщении #1124748 писал(а):

Уравнение записано неверно (д.б. 2ая производная)

Возьмите любой учебник по вариационному исчислению

Спасибо, исправил
держу учебник В.И. Смирнова в руках (том 4), можете у казать искомую тему, вроде тут исследуются уже функционалы, но не как они возникают.
Просто есть уравнение Эйлера, и мне кажется что надо представить исходную систему в виде уравнения Эйлера, и уже от туда получить функционал, но у меня не получается.

[Brukvalub]

Ключевые слова: уравнение Эйлера-Лагранжа.

[specialist]

Brukvalub в сообщении #1124754 писал(а):

Ключевые слова: уравнение Эйлера-Лагранжа.

чего то я понимаю,
$\frac{d^2A}{dx^2}-\alpha^2 A=1$ (1)
уравнение Эйлера - Лагранжа
в данном случае принимает вид:
$\frac{\partial F(A)}{\partial A}-\frac{d}{dx} \frac{\partial F(A)}{\partial \frac{dA}{dx}} =0$ (2)
но мне не ясно как это уравнение решается?
при этом корень уравнения (1) должен быть равен корню уравнения (2), значит я должен записать уравнение (1) в форме (2), как это делается?

[dsge]

Посмотрите Михлина гл.17.

[specialist]

dsge в сообщении #1124759 писал(а):

Посмотрите Михлина гл.17.

Спасибо большое, за 1950 год Михлин мне не понравился, а вот за 1970, очень ясно.

как я понял это делается так:

как бы не ошибиться в терминологии, уравнение $\frac{d^2A}{dx^2}-\alpha^2 A=1$ в операторном виде представляет собой $B(A)=f$, где $ f=(1+\alpha^2 A) $, а оператор $B(...)=\frac{d^2(...)}{dx^2}$.
то для такого операторного уравнения существует функционал $F(A)=\langle B(A),A \rangle- \langle f,A \rangle - \langle A,f \rangle$, такой что решение операторного уравнения сообщает функционалу минимум.

И для моего случая,
$\langle B(A),A \rangle=\int_{0}^{1} A\frac{d}{dx} (\frac{dA}{dx}) dx= (A\frac{dA}{dx})\bigg|_0^1 -\int_{0}^{1} \frac{dA}{dx}\frac{dA}{dx}dx $

$-\langle f,A \rangle - \langle A,f \rangle=-2\langle f,A \rangle=-2\int_{0}^{1} (A+\alpha^2 A^2) dx$
и в итоге
$F(A)=\langle B(A),A \rangle- \langle f,A \rangle - \langle A,f \rangle =0.5\int_{0}^{1} [(\frac{dA}{dx})^2 + 2A+2\alpha^2 A^2] dx$
и результат с ответом не сходится... пока не знаю в чем дело.
а у мне вопрос, вот автор пишет о скалярном произведении в Гильбертовом пространстве, а метрику задаем мы с потолка?

[dsge]

specialist в сообщении #1124938 писал(а):

вот автор пишет о скалярном произведении в Гильбертовом пространстве, а метрику задаем мы с потолка?

Заданное таким образом скалярное произведение является естественной метрикой в пространстве функций с интегрируемой в квадрате обобщенной производной.