Найти экстремум решения дифф. ур., не решая уравнение

[_hum_]

Есть ли какой-нибудь прием, позволяющий избежать топорного подхода к поиску экстремальных значений решения дифференциального уравнения (я имею в виду, подход, включающий нахождение решения, а после - исследование на экстремум через производные).

На всякий случай, уравнение (неоднородное Biharmonic_equation):

$\Delta^2 u(x,y) = \delta(x_o,y_o),$

где решение ищется в прямоугольной области (с однородными граничными условиями).

Попутно вопрос: если все же метода нет, то как можно из существующего общепринятого подхода с представлением решения в виде функционального ряда (например, тригонометрического) вытянуть экстремум? (Попытка в лоб приравнять частные производные к нулю приводят к непонятно как разрешаемой системе)

Спасибо.

[Red_Herring]

Боюсь, разочарую. Для эллиптических уравнений 2го порядка есть принцип максимума (при некоторых условиях, возможны вариации) и кое-что вытянуть можно. Для высших--принципа максимума нет.

Если говорить о Вашем случае (писать однако правую часть следует $\delta (x-x_0,y-y_0)$ или $\delta_{(x_0,y_0}(x,y)$), то при граничных условиях $u=\partial_n u=0 $ получаем задачу о пластинке с защемленной границей.

Ясно, что при прямоугольнике $\{-a<x<a, -b<y<b\}$ положение максимума будет ближе к центру чем $x_0,y_0$: $0<x^*<x_0, 0<y^*<y_0$ если $x_0>0,y_0>0$ и т.д. Но похоже придется решать численно. Вряд и поможет и представление через аналитические функции