Доказать бесконечность подмножества векторного пространства

[RrX]

Добрый вечер! Читаю книгу по линейной алгебре, и доказательство одного утверждения базируется на том, что определённое множество является бесконечным. Начну.
Пусть $V$ - нетривиальное векторное пространство над бесконечным полем $\mathbb{F}$.
Предположим, что $V$ является объединением конечного числа своих собственных подпространств(раз собственных, то $n > 1$), то есть $V = \bigcup\limits_{i=1}^{n} S_i, n > 1$
Положим, что $S_1$ не входит в $\bigcup\limits_{i=2}^{n} S_i$.
Пусть $w \in S_1 \setminus \bigcup\limits_{i=2}^{n} S_i$, а $v \in V \setminus S_1$.
Положим $A = \{rw + v| r \in \mathbb{F} \}$. Необходимо доказать, что $A$ бесконечно.

То, что $\mathbb{F}$ бесконечно, это понятно. Но $r_1w + v = r_2w + v \Leftrightarrow r_2^{-1}r_1w = w$.

[demolishka]

Ну так продолжите последнюю цепочку...

[RrX]

demolishka в сообщении #1123970 писал(а):

Ну так продолжите последнюю цепочку...

Как?
$r_2^{-1}r_1w = w$ не означает, что $r_2^{-1}r_1 = 1$.
Для единицы поля $1w = w$ выполняется, но выполняется оно не только для единицы поля.

[mihaild]

RrX в сообщении #1123989 писал(а):

Для единицы поля $1w = w$ выполняется, но выполняется оно не только для единицы поля.

Пусть $aw = w, a \neq 1$. Тогда $(a - 1)w = 0$. Воспользуйтесь определением поля, свойствами векторного пространства и найдите $w$.

[RrX]

mihaild в сообщении #1124002 писал(а):

RrX в сообщении #1123989 писал(а):

Для единицы поля $1w = w$ выполняется, но выполняется оно не только для единицы поля.

Пусть $aw = w, a \neq 1$. Тогда $(a - 1)w = 0$. Воспользуйтесь определением поля, свойствами векторного пространства и найдите $w$.

Cпасибо!
То есть либо $a - 1 = 0$, либо $w = 0$. А т.к. $0$ принадлежит любому подпространству $V$, то $w \neq 0$.