Три задачи о шахматных турнирах

[Ktina]

(две нетрудные и одна потруднее)

1)
На шахматном турнире для 12 участников каждый сыграл ровно по одной партии с каждым из остальных. За выигрыш давали 1 очко, за ничью $\dfrac{1}{2}$, за проигрыш 0. Вася проиграл только одну партию, но занял последнее место, набрав меньше всех очков. Петя занял первое место, набрав больше всех очков. На сколько очков Вася отстал от Пети?

2)
16 шахматистов провели между собой турнир: каждые два шахматиста сыграли ровно одну партию. За победу в партии давался 1 балл, за ничью — 0,5 балла, за поражение — 0 баллов. Оказалось, что ровно 15 шахматистов поделили первое место. Сколько очков мог набрать шестнадцатый шахматист?

3)
В шахматном турнире участвовали 8 шахматистов, причём каждый сыграл с каждым
ровно по одной партии. Известно, что любые два шахматиста, сыгравшие между собой
вничью, набрали в итоге разное число очков. Найдите наибольшее возможное число ничьих в
этом турнире. (За выигрыш партии шахматисту начисляется 1 очко, за ничью – 1/2 очка,
за поражение – 0.)

[Yadryara]

Никто не хочет решать? Ну попробую.

Ktina в сообщении #1123660 писал(а):

1)
На шахматном турнире для 12 участников каждый сыграл ровно по одной партии с каждым из остальных. За выигрыш давали 1 очко, за ничью $\dfrac{1}{2}$, за проигрыш 0. Вася проиграл только одну партию, но занял последнее место, набрав меньше всех очков. Петя занял первое место, набрав больше всех очков. На сколько очков Вася отстал от Пети?

На $1$ очко. Нетрудно показать, что другое преимущество невозможно.

Вася мог набрать только $5$ очков, сведя все остальные партии вничью, поскольку результат главного лузера должен быть строго меньше 50% от возможного количества очков.

Всего разыгрывалось $6\cdot 11 = 66$ очков. И расклад только один: Петя набрал $6$. Ещё $10$ человек набрали по $5.5$.

-- 15.05.2016, 22:35 --

Ktina в сообщении #1123660 писал(а):

2)
16 шахматистов провели между собой турнир: каждые два шахматиста сыграли ровно одну партию.

Видимо ровно одну партию между собой?

Тогда разыгрывалось всего $8\cdot 15 = 120$ очков.

Ktina в сообщении #1123660 писал(а):

Сколько очков мог набрать шестнадцатый шахматист?

Только $0$ очков. Иначе оставшиеся очки на $15$ не разделятся.

[DeBill]

3. 17?

[grizzly]

3. 18. Кто больше?

[Yadryara]

3. 20 ничьих. Расклад будет чуть позже.

-- 16.05.2016, 14:06 --

Одно из решений:

1-й проиграл 2-му
1-й проиграл 3-му
1-й проиграл 4-му
1-й выиграл у 5-го
2-й выиграл у 5-го
2-й выиграл у 6-го
3-й выиграл у 6-го
6-й выиграл у 7-го

Остальные партии — вничью.

Всего сыграно $4\cdot 7 = 28$ турнирных партий. $8$ боевых и $20$ ничейных.

В итоге набрано очков:

1-й — $2.5$
2-й — $5$
3-й — $4.5$
4-й — $4$
5-й — $2.5$
6-й — $3$
7-й — $3$
8-й — $3.5$

[12d3]

А больше и нельзя.
У нас есть максимум один человек, выигравший одну игру и не проигравший ни разу и максимум один человек, проигравший ровно одну игру и не выигравший ни разу.
Также есть максимум один человек, выигравший две игры и не проигравший ни одной и максимум один человек, проигравший две игры и не выигравший ни одной.
Осталось у нас четыре участника.
Рассмотрим два случая.
1) Есть человек, сыгравший со всеми вничью. Тогда оставшиеся 3 человека не могли сыграть ровно две игры невничью, а значит, сыграли как минимум по три неничейных игры каждый. Итого неничейных игр выходит как минимум $\frac{1+1+2+2+0+3*3}{2}=\frac{15}{2} > 7$.
2) Нет человека, сыгравшего со всеми вничью. Среди оставшихся четырех будет максимум 3 человека, выигравших одну игру и проигравших одну (они все обязаны играть друг с другом не на ничью), а у оставшегося человека минимум 3 игры не вничью. Итого неничейных игр выходит как минимум $\frac{1+1+2+2+3*2+3}{2}=\frac{15}{2} > 7$.
Итого, как минимум 8 неничейных игр, а значит максимум 20 ничьих.