Пространство полиномов двух переменных

[dmitry4xy]

Здравствуйте.
Стоит задача определить размерность пространства полиномов двух переменных степени не выше $n$.

Когда будет найден базис этого пространства, тогда будет определена и размерность.
Корректно ли сказать, что, например, для степени не большей $2$ у полинома $g(x, y) = x^2 y^2 + x^2 y + x y^2 + xy + x + y + 1$ каждое из слагаемых это базисный вектор? Размерность в этом случае равна $7$?

[svv]

Вообще-то степень полинома — это максимальная степень его мономов, а степень монома — сумма (а не максимум) степеней его переменных. Так что у Вас полином четвёртой степени, а второй — был бы
$a_{20}x^2+a_{11}xy+a_{02}y^2+a_{10}x+a_{01}y+a_{00}$

Если считать так, как Вы , то ещё могут быть члены $x^2$ и $y^2$, и размерность будет $9$.

Базис в векторном пространстве можно выбирать по-разному. Но, конечно, можно в качестве базисных полиномов использовать $x^m y^n$, где $m,n$ целые неотрицательные и их сумма не превышает степени. Нужно только это оговорить.

[dmitry4xy]

Спасибо, svv, действительно, ошибся я, говоря про степень полинома.

Тогда в случае степени не большей $2$, мы имеем $a_{20}x^2+a_{11}xy+a_{02}y^2+a_{10}x+a_{01}y+a_{00}$
И базисные вектора можем взять такие:
$\left\lbrace a_{20}, 0, 0, 0, 0, 0\right\rbrace$
$\left\lbrace 0, a_{11}, 0, 0, 0, 0\right\rbrace$
$\left\lbrace 0, 0, a_{02}, 0, 0, 0\right\rbrace$
$\left\lbrace 0, 0, 0, a_{10}, 0, 0\right\rbrace$
$\left\lbrace 0, 0, 0, 0, a_{01}, 0\right\rbrace$
$\left\lbrace 0, 0, 0, 0, 0, a_{00} \right\rbrace$

Это уже больше похоже на правду?

[svv]

К этому два замечания.

1) Имея базис, любой вектор можно единственным образом представить в виде линейной комбинации базисных векторов. Коэффициенты при базисных векторах в линейной комбинации называются координатами (компонентами) вектора в этом базисе. Вот это:
$a_{20}x^2+a_{11}xy+a_{02}y^2+a_{10}x+a_{01}y+a_{00}$
— запись произвольного полинома второй степени от $x, y$ в виде линейной комбинации базисных полиномов $x^2, xy, ...$. При этом коэффициенты $a_{20}, a_{11}, ...$ (названные выше координатами вектора) в базисные полиномы не входят. Исправляя это, получим:
$(1,0,0,0,0,0)$
...
$(0,0,0,0,0,1)$

2) Вы можете задавать вектор набором координат, но только после того, как зададите базис. Запись $(1,0,0,0,0,0)$ может означать вектор, у которого первая компонента равна $1$, остальные нулевые, но , без дополнительных пояснений, непонятно в каком базисе. Исправим и это: просто перечислим в некотором порядке базисные полиномы:
$(1, x, x^2, y, xy, y^2)$

Хорошо. Но Ваша задача в том, чтобы их сосчитать для двух переменных и произвольной степени полинома.

Подсказка. Возьмите тетрадь в клеточку, нарисуйте оси декартовой системы координат. Вы работаете только с точками, имеющими целочисленные координаты. Догадайтесь, как самым естественным образом расположить в системе координат шесть точек, соответствующих этим шести базисным полиномам. (Надо придумать простое правило, какой точкой обозначать данный базисный полином.) Когда догадаетесь, нарисуйте 15 точек, соответствующих 15 базисным полиномам в пространстве полиномов четвёртой степени от $x, y$.

[dmitry4xy]

Спасибо, svv. Тема закрыта.