Неравенство

[Roman Kotyk]

$x,y,z \geqslant 0$ и $x^2+y^2+z^2+xyz=4$, доказать $x^{\frac85}+y^{\frac85}+z^{\frac85} \geqslant 3$

[arqady]

RCF Теорема V.Cirtoaje убивает эту задачу.

[Sergic Primazon]

Roman Kotyk в сообщении #1122887 писал(а):

$x,y,z \geqslant 0$ и $x^2+y^2+z^2+xyz=4$, доказать $x^{\frac85}+y^{\frac85}+z^{\frac85} \geqslant 3$

Сделаем замену : $x=2\sin(\frac{\alpha}{2}), y=2\sin(\frac{\beta}{2}),z=2\sin(\frac{\gamma}{2}), \alpha + \beta+\gamma = \pi$

$f(x)= \left (2 \sin(\frac{x}{2}) \right)^{\frac{8}{5}}$ - вогнутая при $x \in \left( 0,2\sqrt{\arctan(\frac{3}{5})} \right)$ и выгнутая при $x \in \left( 2\sqrt{\arctan(\frac{3}{5})}, \pi \right)$

Пусть : $\gamma \le \beta \le \alpha$

1. $\gamma \le \beta \le 2\sqrt{\arctan(\frac{3}{5})})$. Тогда : $f(\alpha)+f(\beta)+f(\gamma) \ge f(\alpha)+ 2f \left( \frac{\beta+\gamma}{2} \right ) $

2. $2\sqrt{\arctan(\frac{3}{5})} \le \beta$. Тогда раздвигаем $\beta $ и $\alpha$ , пока $\beta $ не сядет на $2\sqrt{\arctan(\frac{3}{5})}$ и переходим к п.1

Поэтому минимум всегда достигается при условии $\gamma= \beta$

$g(\alpha) = f(\alpha)+ 2 \cdot f \left( \frac{\pi-\alpha}{2} \right) = \left (2 \sin(\frac{\alpha}{2}) \right)^{\frac{8}{5}}+2 \cdot \left (2 \sin(\frac{\pi -\alpha}{4}) \right)^{\frac{8}{5}}$, $\alpha \in [\frac{\pi}{3},\pi]$

Сделаем замену : $t = \sin(\frac{\alpha}{2})$

$g(t)= 2^{\frac{8}{5}}\cdot t^{\frac{4}{5}}+2^{\frac{9}{5}}\cdot (1-t)^{\frac{4}{5}}$ , $t \in[0.5,1]$

$ g'(t)=0 \Leftrightarrow t^3 \cdot (1-t)=\frac{1}{16}$

Минимум достигается при : $t=\frac{1}{2}(\gamma= \beta = \alpha = \frac{\pi}{3})$

[arqady]

Sergic Primazon в сообщении #1122981 писал(а):

Сделаем замену : $x=2\sin(\frac{\alpha}{2}), ...

Мне больше нравится $x=2\cos\alpha$,...
Здесь можно посмотреть моё доказательство.

[waxtep]

Кажется, можно и прямо в лоб:
1. в критических точках $f(x)=f(y)=f(z)$, где $f(x)=\frac {x^{3/5}} {2x+1/x}$. У уравнения $f(x)=k$ не более двух корней, поскольку заменой $t=x^{2/5}$ оно приводится к виду $t-\frac 1 {2k}=-\frac 1 {2t^4}$, - пересечение прямой и всюду вогнутой функции.
2. значит, достаточно проверить точки $x=y=\sqrt {2-z}$; при $z=0$ и $z=2$ неравенство выполняется строго, остается отыскать локальные экстремумы функции $2(2-z)^{4/5}+z^{8/5}$, т.е. корни $z^4-2z^3+1=0$ при $0<z<2$. Их два, меньший из них $z=1=x=y$ дает локальный минимум и равенство, а больший - корень $z^3-z^2-z-1=0$, лежащий между $1$ и $2$, - локальный максимум, не требующий проверки.

[waxtep]

waxtep в сообщении #1123641 писал(а):

где $f(x)=\frac {x^{3/5}} {2x+1/x}$.

Поправка: $f(x)=x^2+ax^{8/5}$ с параметром $a$; рассуждение о количестве корней остается в силе, т.к. здесь та же задача о пересечении прямой и функции постоянного знака выпуклости.