Циклическая группа

[Sypkova_A]

Помогите, пожалуйста, найти ошибку в доказательстве.
Условие задачи:
$G$ - подгруппа мультипликативной группы поля $K$. Порядок группы $\lvert G\rvert=4$. Доказать, что $G$-циклическая.
Мое доказательство:
Пусть $G$ - не циклическая. Тогда $\nexists\ g \in G\colon g^k=e$. Тогда $g^m\neq g^n$ $\forall m\neq n\in \mathbb{Z}$ (все целые степени элемента $g$ различны и, следовательно, $\lvert\langle g\rangle\rvert = \infty$ ).
Отсюда, по следствию из теоремы Лагранжа, порядок любого элемента конечной группы делит порядок группы.
Получили, что $\lvert G\rvert\mathrel{\raisebox{-0.5ex}{\vdots}}\lvert\langle g\rangle\rvert$
Значит, $4\mathrel{\raisebox{-0.5ex}{\vdots}}\infty$
Получили противоречие.
Значит, $G$ -циклическая.
Не могу найти ошибку.

[TelmanStud]

Sypkova_A
Боюсь спросить, а что не так?

[Sypkova_A]

Мне не засчитали это доказательство. Я не знаю, в чем ошибка. Я в апатии.

[TelmanStud]

Sypkova_A
Под Ваше доказательство подходит любая группа порядка $4$

[mihaild]

Sypkova_A в сообщении #1123146 писал(а):

Пусть $G$ - не циклическая. Тогда $\nexists\ g \in G\colon g^k=e$.

Неверно. В любой группе есть элемент $g$ такой что $g^k = e$ для некоторого $k$ (например, $g = e, k = 1$). Попробуйте аккуратно записать определение циклической группы и его отрицание.

Кроме того, в вашем доказательстве вы нигде не пользовались тем, что $G$ - подгруппа мультипликативной группы поля, так что если бы оно было правильным, то все конечные группы были бы циклическими, что не так.

[TelmanStud]

mihaild
Для убедительности четвертая группа Клейна в самый раз с таблицей.
https://en.wikipedia.org/wiki/Klein_four-group

-- 12.05.2016, 21:40 --

Sypkova_A
Рассмотрите элемент максимального порядка в Вашей группе. Пусть этот порядок равен $m$. Далее рассмотрите уравнение $x^m=e$ в поле $K$; воспользуйтесь воспользуйтесь основной теоремой алгебрыи делимостью $m$ на порядки других элементов.

[Sonic86]

Sypkova_A в сообщении #1123146 писал(а):

Значит, $4\mathrel{\raisebox{-0.5ex}{\vdots}}\infty$
Получили противоречие.

И еще не сказали, что это - не противоречие. Например, в $\mathbb{Z}[i]$ есть подгруппа $\{\pm 1; \pm i\}$.

[Sypkova_A]

Пусть $G$ -не циклическая. Тогда $\nexists\ g \in G\colon g^4=e$. Значит, в ней нет элементов порядка 4. А поскольку порядок элемента должен делить порядок группы, то $\forall g\neq 1 \in G$ будет иметь порядок 2. $\exists g,h,q\in G$ $g^2=h^2=q^2=e$. Тогда рассмотрим уравнение $x^2=1$ над полем $K$. У него всего два корня 1 и -1. Однако 3 элемента должны удовлетворять уравнению $x^2=1$. Получили противоречие. Значит, $G$ - циклическая. Правильно?

[Sonic86]

Sypkova_A в сообщении #1123165 писал(а):

Пусть $G$ -не циклическая. Тогда $\nexists\ g \in G\colon g^4=e$. Значит, в ней нет элементов порядка 4. А поскольку порядок элемента должен делить порядок группы, то $\forall g\neq 1 \in G$ будет иметь порядок 2. $\exists g,h,q\in G$ $g^2=h^2=q^2=e$. Тогда рассмотрим уравнение $x^2=1$ над полем $K$. У него всего два корня 1 и -1. Однако 3 элемента должны удовлетворять уравнению $x^2=1$. Получили противоречие. Значит, $G$ - циклическая. Правильно?

Угу
Вообще любая конечная подгруппа мультипликативной группы поля циклична по тем же причинам. Это позволяет гордо игнорировать условие $|G|=4$, т.е. выпендриться перед экзаменатором

[Sypkova_A]

Ура! Спасибо Вам огромное.

[Brukvalub]

Sypkova_A в сообщении #1123165 писал(а):

Пусть $G$ -не циклическая. Тогда $\nexists\ g \in G\colon g^4=e$.

Вот тебе и раз! А как же $e^4=e$, что верно в любой группе?

[Sypkova_A]

Brukvalub
Нет не единичного элемента порядка 4. Рассматриваем не единичные элементы. Забыла указать. Приношу извинения.

[mihaild]

Sypkova_A в сообщении #1123165 писал(а):

Пусть $G$ -не циклическая. Тогда $\nexists\ g \in G\colon g^4=e$

Sypkova_A в сообщении #1123182 писал(а):

Нет не единичного элемента порядка 4. Рассматриваем не единичные элементы.

Порядок единичного элемента равен $1$, а не $4$.

Кроме того, $\nexists\ g \in G\colon g^4=e$ - это утверждение, что порядок любого элемента не является делителем $4$ (грубо говоря, ограничение на порядок снизу, а не сверху). В частности, в любой группе порядка $k$ выполнено обратное: $\forall g \in G: g^k = e$ (независимо от цикличности).