Помогите разобраться с цилиндрическим магнитом.

[Saber]

Здравствуйте, товарищи! Решал задачу магнитостатики для цилиндрического магнита сделанного не из ферромагнитного материала. Получил понятное и, в принципе, верное решение. Позже появилась необходимость рассчитать напряженность и индукцию магнитного поля для ферромагнетика. Расчеты магнитной индукции совпали (после ряда преобразований), а вот напряженность (особенно внутри магнита) при моделировании отказывается совпадать с теоретическими расчетами. Причина скорее всего в том, что формула не учитывает впадину на графике напряженности. Чтобы решить этот вопрос я полез смотреть как эту задачу решают в учебниках и статьях и нашел следующее решение:
Пусть:
$x$,$y$,$z$ - координаты измеряемые в миллиметрах,
$B$ - остаточная индукция магнита,
$h$ - длина магнита, измеряемая в миллиметрах,
$\mu$ - абсолютная магнитная проницаемость воздуха,
$R$ - радиус магнита,
$B_x$ - радиальная и аксиальная составляющие индукции,
$H_x$ - радиальная и аксиальная составляющие напряженности,
$x$- ось проходящая через круглые основания магнита,
$\sigma$ - функция распределения плотности магнитных зарядов по торцу.

Цилиндрический постоянный магнит с аксиальным направлением намагниченности можно рассматривать как однослойный соленоид с бесконечно тонкой обмоткой, геометрически соответствующей боковой поверхности магнита, по которой течет намагничивающий ток $I$. Аксиальная составляющая магнитной индукции определяется следующей формулой:

$$B_x(x,0,z)=\frac {BR}{4\pi}{\int\limits_0^{2\pi} (\frac {1}{A_1}-\frac {1}{A_2}){\cos {\varphi}}d\varphi}$$

$A_1=[z^2+R^2-Rz{\cos {\varphi}}+(h/2-x)^2]^{1/2}$,
$A_2=[z^2+R^2-Rz{\cos {\varphi}}+(h/2+x)^2]^{1/2}$.

Так вот вопросы:
1. Что это за угол такой под косинусом. В самой работе ни слова о нём.
2. Откуда взялись косинусы в решении (решении $A_{1,2}$)? Я пробовал решать без гистерезиса и там косинусов не было.

В общем, если кто-то может пояснить принцип, по которому была получена эта формула - пожалуйста помогите. Заранее спасибо.

[AnatolyBa]

Видимо, применяется формула Био-Саваро ... Нужно интегрировать по поверхности соленоида (двумерной). Поверхность параметризуется вертикальной координатой (интеграл по которой, видимо, взят) и полярным углом $\varphi$ - интеграл по которому не взят и представлен вами.
Косинусы в $A_{1,2}$ проистекают из формулы для расстояния между точкой поверхности соленоида и точкой наблюдения

[rustot]

По моему проще эту задачу решать через $\vec{H}$. сравните

$\nabla\vec{B} = 0$
$\nabla\times\vec{B} = 4\pi\nabla\times\vec{M}$

vs

$\nabla\vec{H} = -4\pi\nabla\vec{M}$
$\nabla\times\vec{H} = 0$
$\vec{B} = \vec{H} + 4\pi\vec{M}$

то есть во втором случае вы решаете (по моему более простую) задачу которая эквивалентна нахождению электрического поля конденсатора ($\nabla\vec{E} = 4\pi\rho, \nabla\times\vec{E} = 0$) с двумя круглыми пластинами вдоль граней цилиндрического магнита, а потом для перехода от $\vec{H}$ к $\vec{B}$ просто прибавляете к результату намагниченность $4\pi\vec{M}$ там где она есть, то есть это повлияет только на поле внутри магнита, между "пластинами"

[Saber]

AnatolyBa в сообщении #1123334 писал(а):

Видимо, применяется формула Био-Саваро ... Нужно интегрировать по поверхности соленоида (двумерной). Поверхность параметризуется вертикальной координатой (интеграл по которой, видимо, взят) и полярным углом $\varphi$ - интеграл по которому не взят и представлен вами.
Косинусы в $A_{1,2}$ проистекают из формулы для расстояния между точкой поверхности соленоида и точкой наблюдения

AnatolyBa в сообщении #1123334 писал(а):

Видимо, применяется формула Био-Саваро ... Нужно интегрировать по поверхности соленоида (двумерной). Поверхность параметризуется вертикальной координатой (интеграл по которой, видимо, взят) и полярным углом $\varphi$ - интеграл по которому не взят и представлен вами.
Косинусы в $A_{1,2}$ проистекают из формулы для расстояния между точкой поверхности соленоида и точкой наблюдения

Благодарю за помощь, почитал ваши предложения и понял что не до конца понимаю физику процесса. Решил разобраться самостоятельно и пришел к более простому решению. Еще раз большое спасибо)