Задача про планер

[eugrita]

В сборнике задач МВТУ Саратова, Баранова, Нарской Динамика МТ есть такая задача
Планер массы $m$ стартует с горизонтальной скоростью $V_0$
Вертикальная и горизонтальная составляющие аэродинамической силы заданы
зависимостями $R_x=-\mu v_x$ $R_y=kv-\mu v_x$
Найти максимальное значение вертикальной составляющей скорости планера и
соответствующее этому моменту время
уравнения движения имеют вид
$\dot{V_x}+\frac{\mu}{m}V_x=0$
$\dot{V_y}+\frac{\mu}{m}V_y- \frac{k}{m}v-g=0$
очевидно для максимальной $V_y$ выполнено $\dot{V_y}=0$
но что это нам дает?
2-е уравнение даже при подстановке решения 1-го уравнения $V_x=v_0 \cdot e^{-at}$
нелинейно

[amon]

Во-первых, у Вас то ли сила тяжести поднимает планер, то ли подъёмная сила опускает, а во-вторых, получающееся нелинейное уравнение учат решать в восьмом классе средней школы.

[eugrita]

да во 2 уравнении знак перед g неверен
$\dot{V_y}+\frac{\mu}{m}V_y-\frac{k}{m}V+g=0$
или $\dot{V_y}+aV_y-b \sqrt{V_y^2+V_0^2 \cdot e^{-2at}}+g=0 $
и где же тут 8-й класс?
то что для одного неизвестного момента времени выполнено условие
$ aV_y-b \sqrt{V_y^2+V_0^2 \cdot e^{-2at_1}}+g=0$ ничего не дает
так как $t_1$ неизвестно

[Geen]

eugrita в сообщении #1122717 писал(а):

В сборнике задач МВТУ Саратова, Баранова, Нарской Динамика МТ есть такая задача

Странно, но я нашёл немного другую задачу...

И большая просьба - не употреблять разные обозначения для одной и той же величины. И не путать индексы.

[amon]

eugrita в сообщении #1122724 писал(а):

$ aV_y-b \sqrt{V_y^2+V_0^2 \cdot e^{-2at_1}}+g=0$ ничего не дает

Это уравнение определяет $V_y(t_1)$ (8-й класс), кроме того, у Вас наложено условие $\dot{V}_y=0$, которое выполняется отнюдь не при всех $t_1$.

-- 11.05.2016, 15:28 --

Кстати, вот первоисточник задачи.

[vorvalm]

Извините, но по законам аэродинамики силы, действующие в полете
на планер, зависят от квадрата скорости.
P.S
Для старта планера с земли с помощью катапульты необходимо разогнать планер
до скорости, значительно превышающую скорость установившегося планирования
(условного горизонтального полета).т.е. $V_0 >> V$г.п.
От их отношения и будет зависеть вертикальная скорость набора высоты.
Очевидно, что вначале она будет расти за счет избытка $V_0$, но затем
будет уменьшаться до 0 при достижении $V$г.п.

[Geen]

amon в сообщении #1122813 писал(а):

Кстати, вот
первоисточник задачи.

Неа
Первоисточник там

[eugrita]

Geen в сообщении #1122769 писал(а):

eugrita в сообщении #1122717 писал(а):

В сборнике задач МВТУ Саратова, Баранова, Нарской Динамика МТ есть такая задача

Странно, но я нашёл немного другую задачу...
И большая просьба - не употреблять разные обозначения для одной и той же величины. И не путать индексы.

задача N7 (только там для названных параметров заданы числовые значения).
Мне тоже не очень нравится что в вертикальную составляющую входит "вязкое трение", когда обычно принимаются для лобового сопротивления и подъемной силы выражения $R_x=-C_x V_x^2$
$R_y=C_y V_y^2$ где $C_x,C_y$ заданы полярой в зависимости от угла атаки

[Geen]

Так, давайте уточним, в сканах по ссылке, что я привёл, мне явно видится $R_y=k v_x-\mu v_y $....

[vorvalm]

Если быть более точным, то

$R_x=-C_xS\frac{\rho V^2}{2}$ и $R_y=-C_yS\frac{\rho V^2}{2}$

[eugrita]

ну вот мне подсказали, возможно у автора опечатка в условии.
Если считать так: $R_x=- \mu v_x$ , $R_y=kv_x - \mu v_y$
то задача имеет не очень сложное осмысленное решение
обозначив $a=\frac {\mu}{m}$ $b=\frac {k}{m}$
получим с учетом нач. условий:
$v_x=v_0 e^{-at}$ и неоднородный дифф.ур с постоянными коэф
$\frac{dv_y}{dt}+av_y=v_0 e^{-at}$ с решением
$v_y(t)=bv_0 t e^{-at}$
приравняв производную к 0 находим время когда мах скорости $t=\frac{1}{a}$
$\max {v_y}=\frac{bv_0}{ae}$
правда при подстановке численных данных с приведенным ответом не сходится

[Geen]

А общее решение однородного уравнения Вы случайно не потеряли?

[vorvalm]

Условия данной задачи совершенно не соответствуют реальному полету планера.

[eugrita]

vorvalm в сообщении #1123505 писал(а):

Условия данной задачи совершенно не соответствуют реальному полету планера.

претензии не ко мне а к авторам задачи

[vorvalm]

eugrita в сообщении #1123833 писал(а):

претензии не ко мне а к авторам задачи

Безусловно.
При реальном старте планера максимальная вертикальная скорость
может быть при переходе от горизонтального полета в набор высоты
с углом подъема $\Theta$, при этом

$V_x=V_0\sin \Theta$

Угол $\Theta$, как правило, берется наивыгоднейший с учетом угла атаки,
при котором максимальное аэродинамическое качество, т.е.

$K_{\max}=\frac{C_y}{C_x}$