Кривая, в которую можно вписать квадрат, но не треугольник

[sergey1]

Несложно доказать, что в любую замкнутую кривую можно вписать правильный треугольник.
Схема:
Третья вершина правильного треугольника 2 вершины которого это 2 самые далекие точки на кривой, лежит вне кривой, получаем первый правильный треугольник.. Берем еще один правильный треугольник две вершины которого лежат на кривой, а третья внутри кривой. Отправляем по кривой вершины первого треугольника в вершины второго. Ясно, что для одного из возможных первых треугольников его третья вершина попадет в третью вершину второго треугольника - то есть станет внутренней точкой кривой. Т.к. движение было непрерывным, то в некоторый момент третья вершина находилась на кривой.

Поэтому контрпример, если он есть, следует искать среди незамкнутых кривых.

[Sasha2]

Не очень я с Вами согласен.
По-мому уважаемый Sonic86 четко построил пример линии, в которую можно вписать квадрат, а равносторонний треуголник - уже нельзя.

[sergey1]

В 14-м посте я написал, как в эту ломаную вписать правильный треугольник

[Sonic86]

Sasha2, sergey1 прав, Вас наверное просто смущает, что тогда 2 вершины треугольника лежат на одном ребре ломаной. Надо было это случай тоже учитывать. А если ломаную скруглить, то тем более треугольник будет вписан.

-- Ср авг 18, 2010 08:04:42 --

sergey1
А у Вас в методе не учитывается, что получающийся треугольник лежит внутри области? А то у меня для астроиды Ваш прием не всегда дает вписанный треугольник, который лежит целиком в астроиде.

[sergey1]

Да, не учитывается. Мое рассуждение годится, если вписанным считать треугольник, все вершины которого лежат на линии. Если же еще потребовать, чтобы треугольник лежал внутри замкнутой линии, то пока неясно, существует ли контрпример

[paha]

alex1910 в сообщении #344856 писал(а):

Так как обращение производной в ноль - свойство неинвариантное, негеометрическое - от выбора системы координат зависит.

Как раз это -- геометрическое свойство: необращение в ноль касательного вектора к кривой (это вектор, составленный из производных координатных функций, задающих кривую).

по всей видимости
тут

mihailm в сообщении #344832 писал(а):

И опять замечу, что гладкость кривой не совсем обеспечивается диф-ю компонент, желательно чтоб производные в ноль не обращались

имелось ввиду, что кривая имеет регулярную параметризацию (отсутствуют "клювы" как у астроиды)

[AKM]

mihailm в сообщении #344832 писал(а):

И опять замечу, что гладкость кривой не совсем обеспечивается диф-ю компонент, желательно чтоб производные в ноль не обращались

Полагаю, mihailm просто не дописал слово "одновременно", что и вызвало возражение

alex1910 в сообщении #344856 писал(а):

Так как обращение производной в ноль - свойство неинвариантное, негеометрическое - от выбора системы координат зависит.

Речь шла о компоненте касательного вектора, а не о самом векторе.

paha в сообщении #345794 писал(а):

Как раз это -- геометрическое свойство: необращение в ноль касательного вектора

Предлагаю этот спор не развивать: всем всё ясно.
Виноватым назначим mihailm .

[paha]

AKM в сообщении #345981 писал(а):

Речь шла о компоненте касательного вектора, а не о самом векторе

да, натуральная параметризация

[grizzly]

sergey1 в сообщении #344904 писал(а):

По-моему, квадрат вписывается в любую замкнутую кривую.
Действительно, http://nature.web.ru/db/msg.html?mid=1159298&uri=node3.html

Теорема 1 (о вписанном квадрате). В любую замкнутую кривую на плоскости можно вписать квадрат.

Точнее, можно найти 4 точки на кривой, служащие вершинами квадрата (если кривая ограничивает невыпуклую область, то квадрату разрешается вылезать из этой области). В работе Шнирельмана кривая предполагается достаточно гладкой. Когда цитируют теорему Шнирельмана, ее часто формулируют для произвольной непрерывной кривой. Авторам неизвестно, опубликовано ли где-нибудь доказательство для этого случая. В 1996 г. один из нас (В.В.Успенский) спросил знаменитого Пола Эрдеша, каков статус теоремы о вписанном квадрате в случае произвольной непрерывной кривой. Эрдеш ответил, что это открытая проблема.

В этом сообщении содержится полезная ссылка с историей вопроса. В двух словах отвечая по теме: если говорить о точках на произвольной замкнутой непрерывной кривой (как в цитате выше), то треугольник, подобный любому данному, можно вписать всегда. С квадратом всё ещё не всё известно. Но по ссылке упомянуты результаты, полученные в 1989-м и 1995-м.