Оценка нормы обратной матрицы к матрице Гильберта

[SannVictor]

Имеется СЛАУ с матрицей Гильберта.
При помощи итерационного метода требуется найти решение СЛАУ.
В чём проблема? В процессе решения нужно оценивать норму матрицы, обратной к матрице Гильберта (в какой-нибудь матричной норме)
Конечно, есть явные выражения для элементов матрицы, обратной к матрице Гильберта, но в силу громоздкости вычисления этих элементов возникают проблемы при её формировании на компьютере.
Поэтому появилась идея оценить норму обратной матрицы только по исходной матрице.
Определённые успехи в этой области есть, например, для матриц, обратных к матрицам монотонного вида и вполне неотрицательным матрицам.
Но для использования этих материалов нужно доказать, что все миноры у матрицы Гильберта неотрицательны!
Есть идеи, как это можно сделать? Простое доказательство по индукции как-то очень нетривиально идёт, а машинно считать определители - далеко не лучшая идея, ведь погрешности могут "съесть" знак =(

[svv]

SannVictor в сообщении #1122257 писал(а):

В чём проблема? В процессе решения нужно оценивать норму матрицы, обратной к матрице Гильберта (в какой-нибудь матричной норме)
Конечно, есть явные выражения для элементов матрицы, обратной к матрице Гильберта, но в силу громоздкости вычисления этих элементов возникают проблемы при её формировании на компьютере.

А, допустим, выражения были бы попроще, и Вам удалось бы оценить норму обратной матрицы по известной обратной матрице. Я предполагаю, что Вы намерены честно освоить хороший метод. Вас не смущает, что метод решения СЛАУ требует предварительного знания обратной матрицы?

[SannVictor]

Цитата:

А, допустим, выражения были бы попроще, и Вам удалось бы оценить норму обратной матрицы по известной обратной матрице. Я предполагаю, что Вы намерены честно освоить хороший метод. Вас не смущает, что метод решения СЛАУ требует предварительного знания обратной матрицы?

В том то и дело, что хочется оценить норму обратной матрицы по исходной матрице, не прибегая к дополнительным громоздким вычислениям. Метод есть, но не получается его реализовать...

[Vince Diesel]

SannVictor в сообщении #1122257 писал(а):

Но для использования этих материалов нужно доказать, что все миноры у матрицы Гильберта неотрицательны!

На Википедии сказано, что это известно:

Цитата:

The Hilbert matrix is also totally positive (meaning the determinant of every submatrix is positive).

Если нужно доказательство, можно начать со ссылок в конце. Однако там же замечается, что матрицы Гильберта являются очень плохо обусловленными и т.д. Так что, вероятно, вопросами численного решения таких систем тоже уже занимались.

[SannVictor]

Vince Diesel, спасибо огромное!
Как же всё оказалось просто