Помогите, пожалуйста, с интегралами

[DAlembert]

Добрый вечер, уважаемые.
В срочном порядке нужно вычислить два незамысловатых на вид интеграла:

$I_{1}=$$\int\limits_{0}^{R}J_{0}(ax)J_{0}(bx)x^2dx$$;

$I_{2}=$$\int\limits_{R}^{\infty}K_{0}(ax)K_{0}(bx)x^2dx$$.

Буду рад любой помощи. Можно даже вычислить асимптотически, если у кого-нибудь найдутся идеи. У меня посчитать асимптотически не получилось, т.к. хотя и параметр $R<<1$, a $a\sim b $$>>1$$, но $Ra$\sim$$Rb$\sim$$1$$. Поэтому разложить Бесселя при малом аргументе, а Макдональда - при большом не получается.

P.S.1 Брычкова, Прудникова и Градштейна, Рыжика смотрел. Своего случая там не обнаружил, к сожалению. (Может, плохо смотрел )

P.S.2 http://www.eah-jena.de/~rsh/Forschung/Stoer/besint.pdf - здесь на стр. 274 есть первый интеграл, но выглядит это все слишком громоздко, может быть, можно как-то покороче через гипергеометрию и т.д.

[mihiv]

Для $J_0(z)$ при $z\sim 1$ степенной ряд сходится очень быстро, к тому же он знакопеременный, так что можно оценить погрешность.

[mihiv]

Для $z>1$ уже достаточно хорошо работает асимптотическая формула $K_0(z)\approx \sqrt {\frac {\pi }{2z}}e^{-z}$. С ее помощью получим:

$$I_2\approx [\dfrac 2{(a+b)^3}+\dfrac {2R}{(a+b)^2}+\dfrac {R^2}{a+b}]e^{-(a+b)R}$$

-- Сб май 14, 2016 22:00:16 --

Формула для $I_2$ должна быть:

$$I_2\approx \dfrac {\pi }{2\sqrt {ab}}[\dfrac 2{(a+b)^3}+\dfrac {2R}{(a+b)^2}+\dfrac {R^2}{a+b}]e^{-(a+b)R}$$

-- Сб май 14, 2016 22:12:32 --

Надеюсь, что последнее исправление :

$$I_2\approx \dfrac {\pi }{2\sqrt {ab}}[\dfrac 1{(a+b)^2}+\dfrac {R}{a+b}]e^{-(a+b)R}$$

[DAlembert]

mihiv в сообщении #1123581 писал(а):

Для $z>1$ уже достаточно хорошо работает асимптотическая формула $K_0(z)\approx \sqrt {\frac {\pi }{2z}}e^{-z}$. С ее помощью получим:

$$I_2\approx [\dfrac 2{(a+b)^3}+\dfrac {2R}{(a+b)^2}+\dfrac {R^2}{a+b}]e^{-(a+b)R}$$

-- Сб май 14, 2016 22:00:16 --

Формула для $I_2$ должна быть:

$$I_2\approx \dfrac {\pi }{2\sqrt {ab}}[\dfrac 2{(a+b)^3}+\dfrac {2R}{(a+b)^2}+\dfrac {R^2}{a+b}]e^{-(a+b)R}$$

-- Сб май 14, 2016 22:12:32 --

Надеюсь, что последнее исправление :

$$I_2\approx \dfrac {\pi }{2\sqrt {ab}}[\dfrac 1{(a+b)^2}+\dfrac {R}{a+b}]e^{-(a+b)R}$$

Искренне благодарен Вам за попытку помочь, но, мне кажется, что это грубовато все же. Второй интеграл набирается в основном в окрестности нижнего предела ($R$), а асимптотическое разложение $K_0(z)\approx \sqrt {\frac {\pi }{2z}}e^{-z}$ хорошо работает при хотя бы $z\sim10$, а у меня $aR\sim1$, поэтому, я думаю, что это будет неправильная оценка. Пока я прибегнул к не очень любимому мною методу и посчитал численно. Посмотрим, может, еще у кого-нибудь мысли будут какие)

[mihiv]

При $z=1$ погрешность асимптотической формулы для $K_0(z)$ примерно 10%. Если взять следующее слагаемое в асимптотике, то погрешность составляет примерно 5%. Поэтому интеграл вычисляется с погрешностью 20% в первом случае и, соответственно, 10%- во втором.