Классификатор подобъектов

[OlgaD]

Возникло несколько вопросов по книге Голдблатта Топосы. Категорный анализ логики.
При описании классификатора подобъектов в категории Set он строит декартов квадрат

$$\begin{array}{ccc} A_f & \hookrightarrow & D \\ !\downarrow & & \downarrow f \\ \{1\} & \hookrightarrow & 2 \\ \end{array}$$

Правильно ли я понимаю, что $\mathbox{!}=f|_{A_f}?$
И что означает его "модификация" этой диаграммы: замена нижней стрелочки на $true:1=\{0\}\rightarrow 2=\{0,1\}?$ Характеристическая функция поменяла значения?

[apriv]

OlgaD в сообщении #1119817 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что $\mathbox{!}=f|_{A_f}?$

Хочу напомнить, что $\{1\}$ — конечный объект в категории множеств.

[OlgaD]

А разве не каждое одноэлементное множество в категории Set --- конечный объект? Тогда зачем от множества $\{1\}$ перешли к множеству $\{0\}?$

[arseniiv]

Это (любое одноэлементное множество) всё одинаково терминальные объекты, и не важно, какой из них использовать. Может, в $\{1\}$ скобки — опечатка?

[OlgaD]

arseniiv в сообщении #1119832 писал(а):

Может, в $\{1\}$ скобки — опечатка?

Нет, опечатки нет. Не понятно только что за модификацию он делает дальше.

[alcoholist]

OlgaD в сообщении #1119817 писал(а):

Характеристическая функция поменяла значения?

я, конечно, не специалист, но это ведь просто взаимная однозначность х.ф. и подмножеств... Такая конструкция

[apriv]

OlgaD в сообщении #1119825 писал(а):

Тогда зачем от множества $\{1\}$ перешли к множеству $\{0\}?$

Просто так :)
Подмножество $\{1\}$ в множестве $2 = \{0,1\}$ хорошо всем, кроме того, что у Голдблатта есть канонический выбор представителей классов изоморфности конечных множеств: это множества вида $n = \{0,1,\dots,n-1\}$. Поэтому ему для наведения порядка хочется полученную стрелку между одноэлементным множеством $\{1\}$ и множеством $2$ заменить на стрелку между каноническим одноэлементным множеством $1=\{0\}$ и множеством $2$. Стрелка должна остаться «той же», то есть, все морфизмы в диаграмме должны подкрутиться на изоморфизм $\{1\}\cong \{0\}$, так что новая стрелка $1\to 2$ переводит $0$ в $1$.

[OlgaD]

Спасибо. Вроде поняла