Почленное интегрирование степенного ряда

[Cake]

Изначальное задание - вычислить: $\int_{0}^{ 1} \frac {\ln(1-x^3)} { x} dx$
Раскладываю в ряд Маклорена: $ \frac {\ln(1-x)} { x}=-\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n+1}$
После чего возникает вопрос - допустимо ли теперь интегрировать этот ряд от 0 до 1, т.к. при единице ряд будет расходиться?
Помогите разобраться.

[dima90]

Не то раскладываете.

[Cake]

Походу я переборщил в попытке сократить условие.

$$\int_{0}^{ 1} \frac {\ln(1-x^3)} { x} dx=\frac{1}{3}\int_{0}^{ 1} \frac {\ln(1-x)} { x} dx$$

Далее раскладываю

$$ln(1-x)=-(x+\frac{x^2}{2}+...+\frac{x^n}{n})$$

Отсюда

$$ \frac {\ln(1-x)} { x}=-\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n+1}$$

Так сойдёт или всё-равно ерунда?

[Pphantom]

Cake в сообщении #1121880 писал(а):

$$\int_{0}^{ 1} \frac {\ln(1-x^3)} { x} dx=\frac{1}{3}\int_{0}^{ 1} \frac {\ln(1-x)} { x} dx$$

Откуда сие следует?

[Brukvalub]

Cake в сообщении #1121880 писал(а):

Походу я переборщил в попытке сократить условие.

$$\int_{0}^{ 1} \frac {\ln(1-x^3)} { x} dx=\frac{1}{3}\int_{0}^{ 1} \frac {\ln(1-x)} { x} dx$$

А теперь - недоборщили.

[Pphantom]

Pphantom в сообщении #1121882 писал(а):

Откуда сие следует?

А, нет, отбой, именно для интеграла это утверждение верно. Вопрос снимается.

[ex-math]

Cake
Вычислите интеграл до $1-\varepsilon $, а потом устремите $\varepsilon $ к нулю.

[Cake]

ex-math в сообщении #1121887 писал(а):

Cake
Вычислите интеграл до $1-\varepsilon $, а потом устремите $\varepsilon $ к нулю.

Из равномерной сходимости следует, что можно проинтегрировать от 0 до x $\in(-1,1)$
Вопрос возникает с самой точкой 1. Или я не понял вашу идею? Можно подробнее?

-- 07.05.2016, 20:57 --

Brukvalub

Brukvalub в сообщении #1121885 писал(а):

А теперь - недоборщили.

(Оффтоп)

Дяденька, мне Вас не хватало

[ex-math]

Ваш интеграл -- предел собственного интеграла. В собственном интеграле проблем с почленным интегрированием нет, как Вы и отметили. Осталось посмотреть к чему стремится результат этого почленного интегрирования.

[StaticZero]

Так а вы выпишите члены проинтегрированного ряда, если у вас есть $\displaystyle \int \limts_0^x$, $0 < x < 1$.

[DeBill]

Cake
Да всё нормально! Только обоснование лучше проводить не по теоремам о равномерной сходимости - нет ее на всем интервале - а по теореме Лебега о предельном переходе под знаком интеграла. И ответ получится...

(Оффтоп)

$ -\frac{\pi ^2}{18}$

[Cake]

$\int_{0}^{ 1} \frac {\ln(1-x)} { x} dx=-\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{(n+1)^2}\mid0..1=-\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$
Далее, понятное дело, посчитать через ряд Фурье сумму и домножить на $\frac{1}{3}$ по начальному условию.

-- 07.05.2016, 21:32 --

DeBill в сообщении #1121896 писал(а):

по теореме Лебега о предельном переходе под знаком интеграла

Огромное спасибо, именно то, что нужно!