Поморите составить мат.модель

[Alexej]

Задили задачу:
В ванну с металлом, доведённым до температуры кипения, падает луч лазера. Мощность равномерно распределена. Форма луча - круг, радиус известен. Поступающая энергия тратится только на испарение металла( т.е. на скрытую теплоту парообразования). Необходимо вычислить равновесную форуму поверхности жидкости.
Ввиду (достаточно идеальный случай) однородности среды и излучения, я думаю, необходимо расмотреть только одномерный случай. По моим сображениям поверхность будет представлять собой кривую, выпуклую до и вогнутую в месте испарения. Граница луча - перегиб.
В месте испарения надо посчиталь поток жидкости через элементарную поверхность и поток пара через неё же. Получить тангенс угла наклона касательной к нормали поверхности испарения и интегрированием получить кривую.
Но. Как получить поток жидкости. Конкретнее:
глубину равновесной выемки относительно уровня жидкости
высоту выемки в месте испарения (т.е. высоту точки перегиба)
функция потока жидкости
Или, если мои соображения неверны/нерациональны, подскажите верное направление решения задачи.
С уважением Alexej

[photon]

Alexej писал(а):

Поступающая энергия тратится только на испарение металла

Не уверен, что рассмотрение ситуации хотя бы близко к корректному

Пары металла так или иначе будут частично экранировать облучаемую зону, и часть энергии в любом случае будет идти на нагрев и ионизацию паров.

[ddn]

Alexej писал(а):

Ввиду (достаточно идеальный случай) однородности среды и излучения, я думаю, необходимо расмотреть только одномерный случай.

Не очень ясно, что значит одномерный.

Alexej писал(а):

По моим сображениям поверхность будет представлять собой кривую, выпуклую до и вогнутую в месте испарения. Граница луча - перегиб.

В этом я не уверен. Почему перегиб именно на границе?

Alexej писал(а):

В месте испарения надо посчиталь поток жидкости через элементарную поверхность и поток пара через неё же. Получить тангенс угла наклона касательной к нормали поверхности испарения и интегрированием получить кривую.
Но. Как получить поток жидкости. Конкретнее:
глубину равновесной выемки относительно уровня жидкости
высоту выемки в месте испарения (т.е. высоту точки перегиба)
функция потока жидкости

Решить стационарную гидродинамическую задачу. А это уже двумерная задача (учитывая осевую симметрию). Для пара тоже неплохо бы решить газодинамическую задачу - его поток может оказывать влияние на движение жидкости, особенно в месте испарения. Задача двух сред.

photon писал(а):

Не уверен, что рассмотрение ситуации хотя бы близко к корректному
Пары металла так или иначе будут частично экранировать облучаемую зону, и часть энергии в любом случае будет идти на нагрев и ионизацию паров.

Теоретически это не принципиально. Можно полагать пары прозрачными для излучения.

[Tiger-OZ]

Это случайно задача не в КВАНТЕ была опубликована?

[Zai]

Если Ваши пары металла будут двигаться от источника с неизменной температурой и плотностью, то давление будет подчиняться закону Бернулли и давление будет падать обратно пропорционально квадрату расстояния от центра пятна испарения в условиях, когда кривизна поверхности расплавленного металла не влияет на это течение. Перемещение вниз поверхности будет постоянным или почти постоянным внутри пятна, далее перемещение будет падать по закону обратных квадратов, без каких-либо точек перегиба. Изменение температуры и плотности приведет к более быстрому падению давления, а само давление в пятне испарения может быть существенно больше по сравнению с предыдущим случаем. В жидком металле при этом могут возникать нестационарные поверхностные гравитационные волны.

[ddn]

Zai писал(а):

Если Ваши пары металла будут двигаться от источника с неизменной температурой и плотностью, то давление будет подчиняться закону Бернулли и давление будет падать обратно пропорционально квадрату расстояния от центра пятна испарения в условиях, когда кривизна поверхности расплавленного металла не влияет на это течение. Перемещение вниз поверхности будет постоянным или почти постоянным внутри пятна, далее перемещение будет падать по закону обратных квадратов, без каких-либо точек перегиба. Изменение температуры и плотности приведет к более быстрому падению давления, а само давление в пятне испарения может быть существенно больше по сравнению с предыдущим случаем. В жидком металле при этом могут возникать нестационарные поверхностные гравитационные волны.

Пары металла не могут двигаться от источника с неизменной температурой и плотностью - см. уравнение идеального газа! Это означает неизменное давление, а значит неизменную скорость газа, а ведь поток массы газа должен сохранятся - значит произведение плотности на скорость должно падать обратно пропорционально квадрату расстояния от центра - на больших расстояниях, когда размерами пятна можно пренебречь. Движение газа можно считать адиабатным.
Для незжимаемой жидкости также:
1) перепад давления определяет изменение скорости,
2) нормальная скорость и наклон поверхности определяет поток испарения в точке поверхности,
3) поток испарения в точке поверхности определяется интенсивностью луча и наклоном поверхности, откуда
(2,3) -> нормальная скорость и наклон поверхности определяют друг друга при заданной интенсивности луча,
но вывести и нормальная скорость и наклон поверхности из интенсивности луча невозможно - нужно привлекать гидродинамику.
По закону Бернулли давление и скорость определяют друг друга, но определить направление вектора скорости и ее нормальную (к поверхности испарения) составляющую нельзя.
Нужно полноценное решение гидродинамических уравнений.

[Zai]

Уточнение.
Если Ваши пары металла будут двигаться от источника с незначительным изменением температуры и плотности...
Вектора скоростей на некотором удалении от пятна испарения будут почти как от источника, находящегося в центре пятна испарения.
Более подробное исследование, например с помощью CFD даст почти такие же результаты.

[abc_qmost]

Alexej писал(а):

Задили задачу:..

Можно узнать, где задают такие задачи? Преподаватель, наверное, был с "бодуна".
Или Вы напутали.

[Alexej]

При решение можно полностью пренебречь паром: и взаимодействием с лучом, и с жидкостью.
Я полагаю всюду над поверхностью жидкости одинаковое давление.
Привлекая к решеню теорему бернулли я столкнулся с:
1. Необходимость найти перепад высот (h1)
2. Найти высоту потока в месте испарения (h2)
3. определить вектор скорости потока в каждой точке поверхности испарения (красные)
Одной этой теоремы нехватает. Или я не вижу правильного её приложения к этому случаю.


Эта задача дана на на курсе нелинейных УМФ, из семи предложенных посчастливилось выбрать самую неудачную.

[ddn]

Граница поверхности жидкости: $0\leqslant r$, $z=z_0(r)$.
Объем жидкости: $0\leqslant r$, $z\leqslant z_0(r)$.
Несжимаемая жидкость: $\nabla\rho=0$ и $\frac{\partial\rho}{\partial t}=0$
то есть $\rho(x,y,z,t)=\rho_0=const$
Из осевой симметрии и стационарности задачи:
в полярных координатах $r=\sqrt{x^2+y^2}$,
$\phi=\left\{ \begin{array}{l} arctg(\frac{y}{x}),x>0 \\ sign_+(y)\pi+arctg(\frac{y}{x}),x<0 \\ sign(y)\frac{\pi}{2},x=0 \end{array}$,
где $sign_+(y)=\left\{ \begin{array}{l} +1,y\geqslant 0 \\ -1,y<0 \end{array}$ что дает $-\pi<\phi\leqslant\pi$
получаем $\vec v=\vec v(r,z)$, $p=p(r,z)$.
Из зеркальной симметрии (вертикально-осевой плоскости): $v_{\phi}=0$ (нет круговорота жидкости).

Получим уравнения
- в объеме жидкости $(r,z)$:
$\left\{\begin{array}{l} \frac{\partial v_r}{\partial r}+\frac{\partial v_z}{\partial z}=0 \\ v_r\frac{\partial v_r}{\partial r}+v_z\frac{\partial v_r}{\partial z}+\frac{\partial p}{\rho_0\partial r}=0 \\ v_r\frac{\partial v_z}{\partial r}+v_z\frac{\partial v_z}{\partial z}+\frac{\partial p}{\rho_0\partial z}+g=0\end{array}$
- на границе поверхности жидкости $(r,z_0(r))$:
$-v_r\frac{\partial z_0}{\partial r}+v_z=\left\{\begin{array}{l} 0, r>R \\ \frac{I_0}{\rho_0\cdot\mu}, 0\leqslant r\leqslant R\end{array}$
Здесь $I_0$ - плотность потока лучевой энергии на горизонтальную площадку, $\mu$ - удельная энергия парообразования вещества.

Первое уравнение дает также:
$(r,z)$: $\frac{\partial^2 v_r}{\partial^2 r}+\frac{\partial^2 v_z}{\partial r\partial z}=0$ и $\frac{\partial^2 v_r}{\partial r\partial z}+\frac{\partial^2 v_z}{\partial^2 z}=0$
А следующие два можно переписать:
$(r,z)$: $\left\{\begin{array}{l} v_r\frac{\partial v_r}{\partial r}+v_z\frac{\partial v_r}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial r}(\frac{-p-g\cdot z}{\rho_0}) \\ v_r\frac{\partial v_z}{\partial r}+v_z\frac{\partial v_z}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(\frac{-p-g\cdot z}{\rho_0}) \end{array}$
откуда
$\frac{\partial}{\partial z}(v_r\frac{\partial v_r}{\partial r}+v_z\frac{\partial v_r}{\partial z})= \frac{\partial}{\partial r}(v_r\frac{\partial v_z}{\partial r}+v_z\frac{\partial v_z}{\partial z})$
$\frac{\partial v_r}{\partial z}\frac{\partial v_r}{\partial r}+v_r\frac{\partial^2 v_r}{\partial r\partial z}+\frac{\partial v_z}{\partial z}\frac{\partial v_r}{\partial z}+v_z\frac{\partial^2 v_r}{\partial^2 z}= \frac{\partial v_r}{\partial r}\frac{\partial v_z}{\partial r}+v_r\frac{\partial^2 v_z}{\partial^2 r}+\frac{\partial v_z}{\partial r}\frac{\partial v_z}{\partial z}+v_z\frac{\partial^2 v_z}{\partial r\partial z}$
$\frac{\partial v_r}{\partial z}(\frac{\partial v_r}{\partial r}+\frac{\partial v_z}{\partial z})+v_z(-\frac{\partial^2 v_z}{\partial r\partial z}+\frac{\partial^2 v_r}{\partial^2 z})=\frac{\partial v_z}{\partial r}(\frac{\partial v_r}{\partial r}+\frac{\partial v_z}{\partial z})+v_r(\frac{\partial^2 v_z}{\partial^2 r}-\frac{\partial^2 v_r}{\partial r\partial z})$
$v_z(\frac{\partial^2 v_r}{\partial^2 r}+\frac{\partial^2 v_r}{\partial^2 z})=v_r(\frac{\partial^2 v_z}{\partial^2 r}+\frac{\partial^2 v_z}{\partial^2 z})$ или
$v_z(\Delta v_r)=v_r(\Delta v_z)$ - искомое нелинейное уравнение.
Как решать его - понятия не имею.
Уверен даже, что решение не единственно, ибо его поведение на бесконечности не обязательно сферически симметрично.

[peregoudov]

На мой взгляд, нужно еще добавить второе граничное условие $p(r,z_0(r))=p_0$, а также условия на бесконечности $v(r,z)\to0$, $p(r,z)\to-\rho_0gz$ при $r^2+z^2\to\infty$.

В силу несжимаемости для скоростей можно ввести "потенциал" $rv_r=\partial\psi/\partial z$, $rv_z=-\partial\psi/\partial r$.

Возможно, что уравнения лучше писать в координатах (s,l), где s --- расстояние вдоль поверхности (внутри пучка, поверхность вне пучка --- это линия тока), l --- расстояние вдоль линии тока.

Вообще, хотелось бы понять статус задачи. Что предполагается получить в качестве ответа: точное аналитическое решение, приближенное решение (малый параметр?), численное решение, просто записать постановку?

[Alexej]

Ответом может служить и аналитическое решение, или если оно сложно, то можно решать и численно.
ddn пришел к уравнению:
$v_z(\Delta v_r)=v_r(\Delta v_z)$
где $v_z$ и $v_r $, как я понял, радиальное и вертикальное ускорения.
Не следует ли из этого уравнения, что функции равны, причём тождественно. Или только отличаются на константу.
Нельзя ли это уравнение решить методом разделения переменных, заменив $v(r,z)=R(r)Z(z) $. Если не аналитически, то может численно.
Зачем вводить в угловую стостовляющюю в уравнения если решение должно обладать зеркальной симметрией (в вертикально-осевой плоскости), как для скорости жидкости, так и для её поверхности.
Имеет ли место граничное уловие
$ p(r,z_0(r))=p_0$ "внутри пучка", там же вроде не поверхность раздела (жидкость/газ), а насыщенный пар?

[ddn]

peregoudov писал(а):

На мой взгляд, нужно еще добавить второе граничное условие $p(r,z_0(r))=p_0$, а также условия на бесконечности $v(r,z)\to0$, $p(r,z)\to-\rho_0g(z)$ при $r^2+z^2\to\infty$.

Да, разумеется. (при уточнении: z_0(\infty)=0) Но не уверен, что одного значения на бесконечности достаточно. Возможно потребуется знать закон приближения скорости и давления к их значению на бесконечности по различных направлениям. И для различного поведения на бесконечности получается различная поверхность.

peregoudov писал(а):

В силу несжимаемости для скоростей можно ввести "потенциал" $rv_r=\partial\psi/\partial z$, $rv_z=-\partial\psi/\partial r$.

У меня это уравнение непрерывности:
$\frac{\partial v_r}{\partial r}+\frac{\partial v_z}{\partial z}=0$
Непонятно, откуда у вас взялся множитель $r$?

peregoudov писал(а):

Вообще, хотелось бы понять статус задачи. Что предполагается получить в качестве ответа: точное аналитическое решение, приближенное решение (малый параметр?), численное решение, просто записать постановку?

Нужно найти вид поверхности $z=z_0(r)$, остальное - не более чем промежуточные расчеты. Может даже не придется искать скорости и давление в явном виде, а ограничиться неявными интегралами по объему от них, затем сведя их к интегралам по границе.

Alexej писал(а):

ddn пришел к уравнению:
$v_z(\Delta v_r)=v_r(\Delta v_z)$
Не следует ли из этого уравнения, что функции равны, причём тождественно. Или только отличаются на константу.

Сильно в этом сомневаюсь.

Alexej писал(а):

Нельзя ли это уравнение решить методом разделения переменных, заменив $v(r,z)=R(r)Z(z)$.

Можно попытаться.
При $v_r(r,z)=R_r(r)Z_r(z)$ и $v_z(r,z)=R_z(r)Z_z(z)$ имеем
$R_z(r)Z_z(z)(Z_r(z)\frac{\partial^2 R_r(r)}{\partial^2 r}+R_r(r)\frac{\partial^2 Z_r(z)}{\partial^2 z})= R_r(r)Z_r(z)(Z_z(z)\frac{\partial^2 R_z(r)}{\partial^2 r}+R_z(r)\frac{\partial^2 Z_z(z)}{\partial^2 z})$
$\frac{1}{R_r(r)}\frac{\partial^2 R_r(r)}{\partial^2 r}+\frac{1}{Z_r(z)}\frac{\partial^2 Z_r(z)}{\partial^2 z}= \frac{1}{R_z(r)}\frac{\partial^2 R_z(r)}{\partial^2 r}+\frac{1}{Z_z(z)}\frac{\partial^2 Z_z(z)}{\partial^2 z}$
$\frac{1}{R_r(r)}\frac{\partial^2 R_r(r)}{\partial^2 r}-\frac{1}{R_z(r)}\frac{\partial^2 R_z(r)}{\partial^2 r}= \frac{1}{Z_z(z)}\frac{\partial^2 Z_z(z)}{\partial^2 z}-\frac{1}{Z_r(z)}\frac{\partial^2 Z_r(z)}{\partial^2 z}=\lambda=const$
$R_z(r)\frac{\partial^2 R_r(r)}{\partial^2 r}=R_r(r)\frac{\partial^2 R_z(r)}{\partial^2 r}+\lambda R_r(r) R_z(r)$
$Z_z(z)\frac{\partial^2 Z_z(z)}{\partial^2 z}=Z_r(z)\frac{\partial^2 Z_r(z)}{\partial^2 z}+\lambda Z_r(z) Z_z(z)$
- пришли к почти тому же самому от одной переменной.

Alexej писал(а):

Если не аналитически, то может численно.

Если интересует приближенное решение, то можно попытаться так. Принять поведение на бесконечности сферически симметричным и распространить эту симметрию всюду в объеме. Функция давления погоняется под уравнения. А поверхность вне пятна необходимо спрямить: $z_0(r)=0$ при $r>R$.
$v_r=-C_0\frac{r}{\sqrt{r^2+z^2}^3}$ и $v_z=-C_0\frac{z}{\sqrt{r^2+z^2}^3}$, $|\vec v|=\frac{C_0}{r^2+z^2}$
где $Q_0=2\pi C_0\rho_0$ - общий поток массы. Отсюда
$\Delta v_r=-C_0\frac{3r}{\sqrt{r^2+z^2}^5}$ и $\Delta v_z=-C_0\frac{3z}{\sqrt{r^2+z^2}^3}$
$v_z(\Delta v_r)=3C_0^2\frac{rz}{(r^2+z^2)^4}=v_r(\Delta v_z)$
- уравнение удовлетворено, и выражения для частных производных от давления (потенциала) можно проинтегрировать.
Тогда на границе поверхности жидкости $(r,z_0(r))$ должно быть:
$-C_0\frac{-r\frac{\partial z_0(r)}{\partial r}+z_0(r)}{\sqrt{r^2+z_0(r)^2}^3}=\left\{\begin{array}{l} 0, r>R \\ \frac{I_0}{\rho_0\cdot\mu}, 0\leqslant r\leqslant R\end{array}$
Учитывая, что $z_0(r)=0$ при $r>R$ здесь условие выполняется.
В области пятна имеем уравнение:
$\frac{r\frac{\partial z_0(r)}{\partial r}-z_0(r)}{\sqrt{r^2+z_0(r)^2}^3}=\frac{I_0}{C_0\rho_0\mu}$ при $0\leqslant r\leqslant R$
$r\frac{\partial z_0(r)}{\partial r}-z_0(r)}=r^2\frac{\partial}{\partial r}(\frac{z_0(r)}{r}) =\frac{2\pi I_0}{Q_0\mu}\sqrt{r^2+z_0(r)^2}^3$
$\frac{\partial}{r\partial r}(\frac{z_0(r)}{r})=\frac{2\pi I_0}{Q_0\mu}\sqrt{1+(\frac{z_0(r)}{r})^2}^3$
$\frac{\partial (\frac{z_0(r)}{r})}{\sqrt{1+(\frac{z_0(r)}{r})^2}^3}=\frac{2\pi I_0}{Q_0\mu}r\partial r$
$\partial\left(\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{z_0(r)}{r})^2}}\right)=\partial(\frac{\pi I_0}{Q_0\mu}r^2)$
$\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{z_0(r)}{r})^2}}=\frac{\pi I_0}{Q_0\mu}r^2+C_1$
что при $r=R$ дает $\frac{\pi I_0}{Q_0\mu}R^2+C_1=1$ и $C_1=1-\frac{\pi I_0}{Q_0\mu}R^2$
$\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{z_0(r)}{r})^2}}=1-\frac{\pi I_0}{Q_0\mu}(R^2-r^2)$
А учитывая равенство $\pi R^2\cdot I_0=Q_0\mu$ (приток энергии=поглощаемой энергии) имеем
$\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{z_0(r)}{r})^2}}=1-\frac{R^2-r^2}{R^2}=\frac{r^2}{R^2}$
$z_0(r)=-r\sqrt{\frac{R^4}{r^4}-1}=-\frac{\sqrt{R^4-r^4}}{r}$
$z_0(0)=-\infty$
Что удивительно!!! - решение получилось точным...
но странным...

видимо поверхность испарения действительно может быть любой и определяется течением на бесконечности.

[peregoudov]

ddn писал(а):

Непонятно, откуда у вас взялся множитель $r$?

Извините, я не отследил и сразу не написал. У Вас неправильно записано уравнение непрерывности. Дивергенция в цилиндрических координатах имеет вид

$$ \frac1r\frac\partial{\partial r}(r v_r)+\frac{\partial v_z}{\partial z} $$

(плюс угловой член, но у нас осесимметричный случай).

[Zai]

ddn писал(а):

...видимо поверхность испарения действительно может быть любой и определяется течением на бесконечности.

Как Ваше решение отражает наличие силы тяжести?