Разбиение отрезка на равные части

[Munin]

gris в сообщении #1121300 писал(а):

Требуется представить отрезок в виде объединения нескольких не пересекающихся множеств, которые получаются друг из друга сдвигом, либо отражением.
На всякий случай скажу, что ровно на одну часть, или на континуум частей из одной точки мне разбить кое-как удалось :-) .
Скорее всего, задача простая или известная, но мне никак не поддаётся.
Попытки решения.
Начну с разбиения на две части. Если части уравниваются отражением, то разбиение невозможно, ибо середина отрезка должна принадлежать сразу двум частям.
Если равенство частей достигается сдвигом, то обе части должны иметь минимальный и максимальный элемент в составе полуинтервала, и продолжаться как-то в зависимости друг от друга. Тоже должно получаться какое-то противоречие?
Я уж не говорю о счётном количестве частей, или о разбиении шара :oops:
Может быть, уже обсуждалось?

Попробую доказать, что невозможно никакое конечное число частей.

1. Для каждой части $A,$ пополним её сначала всеми предельными точками - $A^\bullet,$ а потом построим выпуклую оболочку $\widehat{A^\bullet},$ и обозначим её $\overline{A}.$ То есть, мы для каждой части взяли минимальный вмещающий её отрезок.

2. Рассмотрим точку 0. Она может принадлежать не более чем двум таким вмещающим отрезкам. Почему? Допустим, $0\in{A},$ тогда $0\in\overline{A}.$ Но если $0\in\overline{B},\quad B\ne A,$ то $0\notin{B},$ и остаётся единственная возможность: $\overline{A}=\overline{B},$ и $B$ получается из $A$ отражением.

Аналогично, точка 1 принадлежит не более чем двум таким отрезкам. Более того, 0 и 1 принадлежат равному числу отрезков: если одна из них принадлежит двум отрезкам, то в одном отрезке сколь угодно близко к этой точке есть "пробелы", и в его отражении тоже, - и поэтому, другая точка из пары $\{0,1\}$ не может принадлежать одному отрезку - "пробелы" нечем будет занять.

3. Возьмём точку $a_1,$ равную левому концу следующего отрезка, не включающего точку $a_0=0.$ Применяя те же рассуждения, выясним, что она принадлежит одному или двум следующим отрезком. Симметрично с другого конца $[0,1]$ найдём точку $b_1,$ и выясним, что число отрезков, начинающихся в $a_1,$ равно числу отрезков, заканчивающихся в $b_1.$

4. Продолжая процедуру, увидим, что вся "картина отрезков" (и таким образом, частей разбиения) на каждом шаге симметричная. А значит, точка $\tfrac{1}{2}$ не принадлежит никакой из частей разбиения. Или их число бесконечно.

[grizzly]

Здесь, на стр. 338, представлена табличка 30-летней давности об известных на тот момент результатах в разных размерностях. В обзорном введении какой-то статьи спустя 10 лет о новых успехах упомянуто не было. Боюсь, что вопрос про тортик до сих пор открыт :)

Munin в сообщении #1121429 писал(а):

и в его отражении тоже

Это не обязательно.

Munin в сообщении #1121429 писал(а):

Применяя те же рассуждения, выясним, что она принадлежит одному или двум следующим отрезком.

После первого шага мы легко можем привести остаток к (например, конечному) набору открытых интервалов. А в п.2 принадлежность точки одному из множеств (а не только к замыканию выпуклой оболочки) активно использовалась.

Эти (мелкие) замечания, вероятно, могут быть легко исправлены. Но что-то мне подсказывает, что не зря Серпинский переоткрывал независимо утверждения Густина. Боюсь, что за кажущейся очевидностью и наглядностью этого доказательства что-то ещё скрывается в деталях.

[gris]

Я тоже узнал, что проблема сложная при очень простой постановке. Прямо, как ВТФ
grizzly, а Вы, оказывается, не для шуточки аксиому выбора ещё в той теме про звёзды упомянули.

[grizzly]

gris в сообщении #1121538 писал(а):

grizzly, а Вы, оказывается, не для шуточки аксиому выбора ещё в той теме про звёзды упомянули.

:) В отсутствии "хороших" решений я почти не сомневался, а то что и плохих негусто, меня немало удивило.

[Munin]

grizzly
Спасибо за критику! :-)

Не такое это простое дело -  ходить в гости к математикам  доказывать с налёту... :-)

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Олимпиадные задачи (М)»
Причина переноса: сложная задача