Дополнительное к всюду плотному множеству

[ikozyrev]

Изучаю книгу Александрова "Введению в теорию множеств и общую топологию". На странице 105 есть утверждение (без доказательства) что если открытое G всюду плотно в X то F=X\G - нигде не плотно в X.
Типа это самоочевидно.
Но почему?
Пытаюсь построить доказательство:

Пусть $\Gamma$ - произвольное непустое открытое множество в X, тогда нужно доказать что $\exists \Gamma_0\subset\Gamma$, такое что $G\cap\Gamma_0=\Lambda$

Возьмем произвольное непустое открытое множество $\Gamma\subset X$, тогда $\exists x\in \Gamma$ для которого $\Gamma$ будет окрестностью и в ней $\exists g\in G$ и вот тут затык - как определить теперь $\Gamma_0\subset\Gamma$ так чтобы оно было непустым, открытым и не имело точек пересечения с F? Понятно что точка g должна быть в этом множестве, но как обеспечить его открытость и непересечение с F?

[Anton_Peplov]

Приведите определение нигде не плотного множества, которым Вы пользуетесь.

[Brukvalub]

ikozyrev в сообщении #1121471 писал(а):

Пытаюсь построить доказательство:

Пусть $\Gamma$ - произвольное непустое открытое множество в X, тогда нужно доказать что $\exists \Gamma_0\subset\Gamma$, такое что $G\cap\Gamma_0=\Lambda$

Так это же очевидно! Возьмем $\Gamma_0=\Lambda$, и мы в шоколаде дамках!

[ikozyrev]

Anton_Peplov в сообщении #1121477 писал(а):

Приведите определение нигде не плотного множества, которым Вы пользуетесь.

Определение из того же Александрова- множество M нигде не плотно в X тогда и только тогда, если для любого открытого непустого множества $\Gamma\subset X$, $\exists $ открытое непустое $\Gamma_0\in \Gamma: \Gamma_0\cap M = \Lambda$

-- 06.05.2016, 13:39 --

Brukvalub в сообщении #1121486 писал(а):

ikozyrev в сообщении #1121471 писал(а):

Пытаюсь построить доказательство:

Пусть $\Gamma$ - произвольное непустое открытое множество в X, тогда нужно доказать что $\exists \Gamma_0\subset\Gamma$, такое что $G\cap\Gamma_0=\Lambda$

Так это же очевидно! Возьмем $\Gamma_0=\Lambda$, и мы в шоколаде дамках!

Извиняюсь, забыл написать что $\Gamma_0$ должно быть открытым и непустым :)

[Brukvalub]

ikozyrev в сообщении #1121491 писал(а):

Определение из того же Александрова- множество M нигде не плотно в X тогда и только тогда, если для любого открытого непустого множества $\Gamma\subset X$, $\exists $ открытое непустое $\Gamma_0\in \Gamma: \Gamma_0\cap M = \Lambda$

Выходит, вы можете правильно переписать определение из учебника?

-- Пт май 06, 2016 12:43:36 --

Попробуйте выпросить это $\Gamma_0$ в подарок у всюду плотного множества.

[ikozyrev]

Brukvalub в сообщении #1121492 писал(а):

ikozyrev в сообщении #1121491 писал(а):

Определение из того же Александрова- множество M нигде не плотно в X тогда и только тогда, если для любого открытого непустого множества $\Gamma\subset X$, $\exists $ открытое непустое $\Gamma_0\in \Gamma: \Gamma_0\cap M = \Lambda$

Выходит, вы можете правильно переписать определение из учебника?

-- Пт май 06, 2016 12:43:36 --

Попробуйте выпросить это $\Gamma_0$ в подарок у всюду плотного множества.

В том то и дело что не получается. Как я уже писал - для любого непустого открытого $\Gamma\subset X$ есть точка $x \in \Gamma$ такая что по определению всюду плотного множества, она есть точка прикосновения $g \in G$ причем $g \in \Gamma$ но что дальше? Как выпросить это самое $\Gamma_0\subset \Gamma$?

[Someone]

Вы это, что ли, доказать хотите?

ikozyrev в сообщении #1121471 писал(а):

…открытое G всюду плотно в X…

Пусть $\Gamma$ - произвольное непустое открытое множество в X, тогда нужно доказать что $\exists \Gamma_0\subset\Gamma$, такое что $G\cap\Gamma_0=\Lambda$

Это явно абсурдная цель, не имеющая отношения к тому, что требуется доказать.

[ikozyrev]

Someone в сообщении #1121497 писал(а):

Вы это, что ли, доказать хотите?

ikozyrev в сообщении #1121471 писал(а):

…открытое G всюду плотно в X…

Пусть $\Gamma$ - произвольное непустое открытое множество в X, тогда нужно доказать что $\exists \Gamma_0\subset\Gamma$, такое что $G\cap\Gamma_0=\Lambda$

Это явно абсурдная цель, не имеющая отношения к тому, что требуется доказать.

Я хочу доказать что если открытое G всюду плотно в X то F=X\G - нигде не плотно в X.

-- 06.05.2016, 14:08 --

Извините, я там опечатался, надо читать:

Пусть $\Gamma$ - произвольное непустое открытое множество в X, тогда нужно доказать что $\exists \Gamma_0\subset\Gamma$, такое что $F\cap\Gamma_0=\Lambda$

[Someone]

А вместо этого доказываете какой-то абсурд. Не говоря уже о том, что пишете формулы, нарушая правила форума: должно быть $G$, $X$, $F=X\setminus G$.

[ikozyrev]

Someone в сообщении #1121505 писал(а):

А вместо этого доказываете какой-то абсурд. Не говоря уже о том, что пишете формулы, нарушая правила форума: должно быть $G$, $X$, $F=X\setminus G$.

Доказываю я правильное утверждение, просто опечатка была - вместо $F$ - $G$!
Но поправить там уже нельзя.

[Someone]

Пусть будет опечатка.

Но как Вам подсказать, я уж и не знаю. Brukvalub уже подсказал. Если сказать на волосок больше, то получится полное решение, а это правилами запрещено. Думайте. Обратите внимание на связь $F$ и $G$.

[ikozyrev]

Someone в сообщении #1121508 писал(а):

Пусть будет опечатка.

Но как Вам подсказать, я уж и не знаю. Brukvalub уже подсказал. Если сказать на волосок больше, то получится полное решение, а это правилами запрещено. Думайте. Обратите внимание на связь $F$ и $G$.

Спасибо! Придумал такое продолжение:

Пусть $\Gamma\subset X$ - произвольное непустое открытое множетсво. Тогда $\exists x\in \Gamma$ и для него есть точка прикосновения $g \in \Gamma : g \in G$. Для этой точки, по определению открытого множества, существует окрестность $O_g\subset G: O_g\cap\Gamma\ne \Lambda$. Тогда $O_g\cap\Gamma\ne \Lambda$ и есть наше искомое непустое открытое множество $\Gamma_0$ непересекающееся с $F$ (так как $\Gamma_0 \subset G$ и $G$ непересекается с $F$).

Все верно?

[Someone]

Больно мудрёно. Вот это что?

ikozyrev в сообщении #1121512 писал(а):

Тогда $\exists x\in \Gamma$ и для него есть точка прикосновения $g \in \Gamma : g \in G$.

У Вас же $G$ всюду плотно в $X$. Какое у Вас определение всюду плотного множества?

[ikozyrev]

Someone в сообщении #1121524 писал(а):

Больно мудрёно. Вот это что?

ikozyrev в сообщении #1121512 писал(а):

Тогда $\exists x\in \Gamma$ и для него есть точка прикосновения $g \in \Gamma : g \in G$.

У Вас же $G$ всюду плотно в $X$. Какое у Вас определение всюду плотного множества?

Множество $G$ топологического пространства $X$ всюду плотно в $X$ если $\forall x\in X$, $x$ - точка прикосновения множества $G$

[Someone]

Ах, вон как. Я привык к другому определению (естественно, эквивалентному).
Тогда мне непонятно, зачем Вы так пишете. Если любая точка $x$ открытого множества $\Gamma$ является точкой прикосновения множества $G$, то зачем Вам ещё точка $g$?
А что это, собственно, означает: "$x\in\Gamma$ — точка прикосновения множества $G$"?