Доказать неравенство.

[mr.tumkan2015]

Вроде бы простое, но один случай не получается разобрать.

Доказать, что $a+b<a^2+b^2+1$ для неотрицательных $a$ и $b$.

1) $a\ge 1, b\ge 1$. Сразу очевидно, что выполняется неравенство, так как $x^2\ge x$ при $x\ge 1$.

2) $a\ge 1, b\le 1$. Тогда можно переписать неравенство в виде. $b-b^2<a^2-a+1$. Левая часть меньше 1, правая больше.

3) $a\le 1, b\ge 1$. Точно также, как и в предыдущем случае, с точностью до переобозначения.

4) $a\le 1, b\le 1$, тут уже не получается никак рассмотреть. Хотя переписал неравенство в виде $a(1-a)+b(1-b)<1$. Тут очевидно - почему левая часть меньше 2, но насчет меньше 1 не получается доказать, подскажите, пожалуйста, идею!

И можно ли было везде включать единицу или нет?

-- 04.05.2016, 11:22 --

Хотя знаю как доказать, но только с помощью привлечения производных или графика квадратичной функции (попросту доказать можно, что $x(1-x)\le 0,25$). А можно ли без этого?

[gris]

Что если не рассматривать случаи, а перенести всё в правую часть и подумать о формулах сокращённого умножения.

[mr.tumkan2015]

gris в сообщении #1120844 писал(а):

Что если не рассматривать случаи, а перенести всё в правую часть и подумать о формулах сокращённого умножения.

Все, уже понял, $x^2-x=(x-0,5)^2-0,25$, спасибо!