2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Доказать неравенство.
Сообщение04.05.2016, 11:19 


14/10/15
120
Вроде бы простое, но один случай не получается разобрать.

Доказать, что $a+b<a^2+b^2+1$ для неотрицательных $a$ и $b$.

1) $a\ge 1, b\ge 1$. Сразу очевидно, что выполняется неравенство, так как $x^2\ge x$ при $x\ge 1$.

2) $a\ge 1, b\le 1$. Тогда можно переписать неравенство в виде. $b-b^2<a^2-a+1$. Левая часть меньше 1, правая больше.

3) $a\le 1, b\ge 1$. Точно также, как и в предыдущем случае, с точностью до переобозначения.

4) $a\le 1, b\le 1$, тут уже не получается никак рассмотреть. Хотя переписал неравенство в виде $a(1-a)+b(1-b)<1$. Тут очевидно - почему левая часть меньше 2, но насчет меньше 1 не получается доказать, подскажите, пожалуйста, идею!

И можно ли было везде включать единицу или нет?

-- 04.05.2016, 11:22 --

Хотя знаю как доказать, но только с помощью привлечения производных или графика квадратичной функции (попросту доказать можно, что $x(1-x)\le 0,25$). А можно ли без этого?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство.
Сообщение04.05.2016, 11:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14496
Что если не рассматривать случаи, а перенести всё в правую часть и подумать о формулах сокращённого умножения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство.
Сообщение04.05.2016, 11:25 


14/10/15
120
gris в сообщении #1120844 писал(а):
Что если не рассматривать случаи, а перенести всё в правую часть и подумать о формулах сокращённого умножения.

Все, уже понял, $x^2-x=(x-0,5)^2-0,25$, спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Alex Krylov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group