Задача по геометрии

[kda_ximik]

Добрый вечер!
Помогите, пожалуйста, с задачей:
В треугольнике $ABC$ $\angle BAC=30^{\circ}$, центр окружности, проходящей через точки $B,С$ и середину $AB$, лежит на стороне $AC$. Найти площадь треугольника, если радиус окружности $r$.


Не знаю с чего начать...
Угол А равен полвине разности дуг $BC$ и $ED$, на эти дуги опираются углы $\alpha $ и $\beta$. Тогда $30^{0}=\alpha-\beta$
Можно рассмотреть вписанный четырехугольник $EDCB$, далее находим, что $\angle BCE=120^{0}-2\alpha$.
Не зная куда привязать середину $AB$. Можно было бы, конечно, рассматривать площадь $ABC$ как удвоенную площадь $AEC$. Но и тут непонятно...

[provincialka]

А вот если бы вы строили эту конструкцию (циркулем и линейкой), как бы вы построили точку $O$? Где ещё она лежит, кроме как на прямой $AC$? Тут могут получиться разные треугольники, в том числе прямоугольные. Можно попробовать посоставлять разные соотношения для сторон.

И ещё: знаете ли вы выражение площади через две стороны и угол между ними?

-- 03.05.2016, 21:00 --

Кстати, у вас точка $C$ по условию лежит на этой окружности? В тексте об этом не сказано. А! Вы, наверное, $C$ кириллицей написали!

[kda_ximik]

Да, точка $C$ принадлежит окружности.
Да, естественно я знаю площадь через две стороны и угол между ними!

По поводу положения точки $O$:
Вы намекаете, что $OB\perp AC$?
Что подтолкнуло Вас на эту мысль?

[Brukvalub]

kda_ximik в сообщении #1120607 писал(а):

Вы намекаете, что $OB\perp AC$?

provincialka на глупости обычно не намекает. Как найти центр описанной около треугольника окружности?

[kda_ximik]

центр описанной окружности - точка пересечения серединных перпендикуляров.
$\bigtriangleup DBC$ прямоугольный, центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы.

[DeBill]

kda_ximik в сообщении #1120607 писал(а):

Вы намекаете, что $OB\perp AC$?
Что подтолкнуло Вас на эту мысль?

А было бы ну так хорошо...
Ну, если опустить пердикуляр $BO'$ на $AC$, то будет $BO'=BE$, и угол $EBO'=60^{\circ}$, так что треугольник $BEO'$ равносторонний, и точка $O'$ равноудалена от точек $B$ и $E$....

[VAL]

Воспользуйтесь свойством произведений отрезков секущих (и советами, что дали provincialka и Brukvalub). Этого достаточно чтобы найти $AB$ и $AC$.

[TOTAL]

Решайте в лоб:
$2AE^2 = AD(AD + 2r)$
$\frac{3}{2}AE=(AD + r) \frac{\sqrt{3}}{2}$

[svv]

Центр окружности $O$ лежит на перпендикуляре к $EB$, проходящем через его середину — точку $P$.
Пусть $EP=x$, тогда
$AE=2x$
$AP=3x$
$OP=x\sqrt 3$ (так как угол $OAP=30°$)
$OE=2x$ (по теореме Пифагора)
Значит, треугольник $AEO$ равнобедренный и его углы равны $30°,30°,120°$.
Угол $OEB$ равен $60°$.