Как выбрана производящая фунция для канонических переменных?

[10110111]

Читаю ЛЛ1, $\S50$:

Цитата:

Произведем каноническое преобразование переменных $q$,$p$, выбрав величину $I$ в качестве нового «импульса». Роль производящей функции должно при этом играть «укороченное действие» $S_0$, выраженное в функции от $q$ и $I$. Действительно, S_0 определяется как интеграл

$$S_0(q,\,E;\lambda)=\int p(q,\,E;\lambda)\,dq,$$

взятый при заданном значении энергии $E$ (и параметра $\lambda$)...

Мне выбор $S_0$ в качестве производящей функции кажется произвольным: в конце концов, что мешает нам взять любую функцию $\Phi(q,I)$, удовлетворяющую лишь уравнению, связывающему производящую функцию старой координаты и нового импульса:

$$\frac{\partial\Phi(q,I)}{\partial q}=p,$$

например,

$$\Phi(q,I)=pq+f(I),$$

где $f$ — произвольная функция? Однако "Действительно,", с которого начинается следующее предложение, заставляет меня думать, что это обоснование, почему производящая функция должна быть $S_0$. Но в итоге дальнейшее обсуждение, по-моему, просто объясняет, почему $S_0$ может играть роль производящей функции, а не почему должно.
Правильно я это понимаю, или тут действительно нет других возможных вариантов?