Абсолютная сходимость рядов

[Grand.Master]

Нужно исследовать на абс сходимость

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\sin{(\pi(\sqrt{n^2+1}))}$$

Я подумал, что есть следующее: $\left\lvert\sin(t)\right\rvert\leqslant\left\lvert t \right\rvert$
Возможно ли такое доказательство через соотношение выше?
Придем к

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left\lvert\sin{(\pi(\sqrt{n^2+1}))}\right\rvert \leqslant\sum\limits_{n=1}^{\infty}\pi(\sqrt{n^2+1})$$

И скажем, что ряд расходится, а соответственно и изначальный ряд тоже абсолютно расходится

[mihaild]

Нет - из того, что больший ряд расходится, не следует, что меньший расходится.

[Grand.Master]

mihaild в сообщении #1120318 писал(а):

Нет - из того, что больший ряд расходится, не следует, что меньший расходится.

тогда если меньший расходится, то больший расходится?

А как тогда быть? что можете посоветовать?

[mihaild]

Grand.Master в сообщении #1120323 писал(а):

тогда если меньший расходится, то больший расходится?

Попробуйте выписать определение сходимости или критерий Коши и посмотреть, как получаются связаны условии для рядов $a$ и $b$ при $a_n \geqslant b_n \geqslant 0$.

Grand.Master в сообщении #1120323 писал(а):

А как тогда быть? что можете посоветовать?

Для начала - определите, стремится ли к нулю общий член ряда. Если да, то с какой скоростью?

[provincialka]

Применить формулы приведения. Подумайте, это слагаемое с синусом -- маленькое или большое? Если маленькое --то почему?

[Brukvalub]

$\sin{(\pi(\sqrt{n^2+1}))}=(-1)^n\cdot \sin{\pi(\sqrt{n^2+1}- n)}$

[Someone]

mihaild в сообщении #1120329 писал(а):

Для начала - определите, стремится ли к нулю общий член ряда. Если да, то с какой скоростью?

Скорость здесь не важна. Здесь другое условие нужно.

[ewert]

Someone в сообщении #1120399 писал(а):

Скорость здесь не важна.

Тема называется "Абсолютная сходимость".

[Someone]

Да, для абсолютной сходимости существенна именно скорость сходимости (что-то часто стало верхоглядство проявляться).

[Grand.Master]

Someone в сообщении #1120404 писал(а):

Да, для абсолютной сходимости существенна именно скорость сходимости (что-то часто стало верхоглядство проявляться).

Что значит скорость сходимости?

Такого определения нам не давали, и как ее оценить?

[mihaild]

Grand.Master в сообщении #1121005 писал(а):

Такого определения нам не давали, и как ее оценить?

В данном случае - написать $x_n = y_n \cdot (1 + o(1))$, где $y_n$ - что-нибудь простое. Тогда ряды $x_n$ и $y_n$ абсолютно сходятся или расходятся одновременно (почему?).

[Grand.Master]

mihaild в сообщении #1121012 писал(а):

Grand.Master в сообщении #1121005 писал(а):

Такого определения нам не давали, и как ее оценить?

В данном случае - написать $x_n = y_n \cdot (1 + o(1))$, где $y_n$ - что-нибудь простое. Тогда ряды $x_n$ и $y_n$ абсолютно сходятся или расходятся одновременно (почему?).

тогда может $x_n = y_n \cdot (1 + o(1))= \frac{\pi^2}{2n}(1+o(1))$?

Поскольку будут отличаться на бесконечно малую величину?

[Brukvalub]

Grand.Master в сообщении #1121018 писал(а):

тогда может $x_n = y_n \cdot (1 + o(1))= \frac{\pi^2}{2n}(1+o(1))$?

А почему не $x_n = y_n \cdot (1 + o(1))= \frac{\pi^7}{2n}(1+o(1))$?

Grand.Master в сообщении #1121018 писал(а):

Поскольку будут отличаться на бесконечно малую величину?

Какое-то скверное, многосмысленное заявление. Нужно уточнить.

[kernel1983]

Кажется, эта задача есть в Анти-Демидовиче.

[Grand.Master]

Brukvalub в сообщении #1121024 писал(а):

Grand.Master в сообщении #1121018 писал(а):

тогда может $x_n = y_n \cdot (1 + o(1))= \frac{\pi^2}{2n}(1+o(1))$?

А почему не $x_n = y_n \cdot (1 + o(1))= \frac{\pi^7}{2n}(1+o(1))$?

Grand.Master в сообщении #1121018 писал(а):

Поскольку будут отличаться на бесконечно малую величину?

Какое-то скверное, многосмысленное заявление. Нужно уточнить.

Да, просто константа, она думаю не будет сильно на что-то влиять..

Если честно не понимаю откуда взялось это утверждение...

kernel1983 в сообщении #1121026 писал(а):

Кажется, эта задача есть в Анти-Демидовиче.

В Антидемидовиче рассматривается обычная сходимость по признаку Лейбница, здесь же рассматривается абсолютная сходимость.