Равномерная сходимость функц. последовательности

[Grand.Master]

Наткнулся на следующий пример $f_n=n(\frac{x}{\sqrt{n}}-\arctg{\frac{x}{\sqrt{n}}})$
Необходимо доказать равномерно или неравномерно сходится на промежутке $E=(1,+\infty)$
Для начала нашел функцию, к которой сходится, это $f=0$
Потом собрался считать норму разности. Получил точку экстремума $x=0$
Правильно ли я понимаю, что дальше надо проверить концы выбранного множества, то есть вычислить соответствующие пределы при $x\to 1$ и $x\to \infty$

предел, который при x, стремящемся к беск, будет равен бесконечности.
Дальше необходимо подставить, получившееся значение в функцию, но поскольку получилось бесконечность, стоит действовать как-то по другому?

[dsge]

Может быть, для любого сколь угодно большого $n$ всегда найдется достаточно большое $x$ такое, что $f_n >$ ...

[Grand.Master]

dsge в сообщении #1119912 писал(а):

Может быть, для любого сколь угодно большого $n$ всегда найдется достаточно большое $x$ такое, что $f_n >$ ...

Не совсем вас понял...

[demolishka]

Grand.Master в сообщении #1119907 писал(а):

Получил точку экстремума $x=0$
Правильно ли я понимаю, что дальше надо проверить концы выбранного множества, то есть вычислить соответствующие пределы при $x\to 1$ и $x\to \infty$

Чтобы не гадать, что это за точка экстремума --- посчитайте производную $f_n$. Она постоянного знака, это дает соответствующую информацию о характере монотонности.

[ewert]

Зачем производные, когда функции тупо неограниченны.

[demolishka]

ewert в сообщении #1119917 писал(а):

Зачем производные

Чтобы показать, что

ewert в сообщении #1119917 писал(а):

функции тупо неограниченны.

[Grand.Master]

demolishka в сообщении #1119916 писал(а):

Grand.Master в сообщении #1119907 писал(а):

Получил точку экстремума $x=0$
Правильно ли я понимаю, что дальше надо проверить концы выбранного множества, то есть вычислить соответствующие пределы при $x\to 1$ и $x\to \infty$

Чтобы не гадать, что это за точка экстремума --- посчитайте производную $f_n$. Она постоянного знака, это дает соответствующую информацию о характере монотонности.

Ну получил я что точка экстремума это точка перегиба, функция монотонна, это то ясно, как доказать дальше, что фунция сходить равномерно/ неравномерно..

Да и к тому же эта точка экстремума не принадлежит данному промежутку.

[demolishka]

Grand.Master в сообщении #1119923 писал(а):

функция монотонна

Она не только монотонна (возрастает), но и неограниченна. А дальше по определению. Что такое равномерная сходимость?

[Grand.Master]

demolishka в сообщении #1119925 писал(а):

Grand.Master в сообщении #1119923 писал(а):

функция монотонна

Она не только монотонна, но и неограниченна.

Да это понятно, просто забыл указать

[ewert]

demolishka в сообщении #1119920 писал(а):

ewert в сообщении #1119917 писал(а):

Зачем производные

Чтобы показать, что

ewert в сообщении #1119917 писал(а):

функции тупо неограниченны.

Т.е. чтобы показать, что бесконечность больше любой (и даже некоторой) константы, да?...

[Grand.Master]

demolishka в сообщении #1119925 писал(а):

Grand.Master в сообщении #1119923 писал(а):

функция монотонна

Она не только монотонна (возрастает), но и неограниченна. А дальше по определению. Что такое равномерная сходимость?

Да я прочитал определение, но как грамотно его применить?

$$\forall \varepsilon >0 \exists N=N_\varepsilon \forall n\geqslant N \forall x\forallx\in E: |f_n(x)-f(x)| < \varepsilon$$

[ewert]

Grand.Master в сообщении #1119934 писал(а):

Да я прочитал определение, но как грамотно его применить?

Забудьте про определение. Вы уже знаете, что поточечно функции стремятся к нулю. Может ли последовательность неограниченных функций стремиться к нулю равномерно (и, значит, быть равномерно ограниченной)?

[Grand.Master]

ewert в сообщении #1119938 писал(а):

Grand.Master в сообщении #1119934 писал(а):

Да я прочитал определение, но как грамотно его применить?

Забудьте про определение. Вы уже знаете, что поточечно функции стремятся к нулю. Может ли последовательность неограниченных функций стремиться к нулю равномерно (и, значит, быть равномерно ограниченной)?

вообще нет, но как это строго обосновать?

[ewert]

Grand.Master в сообщении #1119941 писал(а):

но как это строго обосновать?

А Вы просто прикиньте, что означают слова:

Grand.Master в сообщении #1119934 писал(а):

$\forall x\in E: |f_n(x)-0| < \varepsilon$

?...

[Grand.Master]

ewert в сообщении #1119945 писал(а):

Grand.Master в сообщении #1119941 писал(а):

но как это строго обосновать?

А Вы просто прикиньте, что означают слова:

Grand.Master в сообщении #1119934 писал(а):

$\forall x\in E: |f_n(x)-0| < \varepsilon$

?...

а все, разобрался, спасибо)