Фихтенгольц. Том2 примеры 269 4в (2003 год).

[Guliashik]

Найти $\int \frac{dx}{A^{2}\sin^2(x) + B^2\cos^2(x)}$

Никаких ограничений на область определения подинтегрального выражения не указано. Если $A$ или $B$ равны $0$ (но не оба сразу), то тогда область определения задаётся теми промежутками, где $\cos(x)$ или $\sin(x)$ (соотвественно) не обращаются в ноль. Если $A \ne 0$ и $B \ne 0$, то область определения $\mathbb{R}$.

Дальше интеграл преобразуется в $\int \frac{\frac{dx}{\cos^{2}(x)}}{A^{2}\tg^2(x) + B^2}$. Но у этого подинтегрального выражения область определения там где $\cos(x) \ne 0$.

Вопросы:
1) Верно ли то, что автор подразумевает $A \ne 0$ и $B \ne 0$ (ибо эти случаи тривиальны и замен не требуют)?
2) Почему в учебнике обходятся нахождением первообразной область определения которой промежутки, где $\cos(x) \ne 0$? Сама первообразная $\frac{1}{AB}\arctg(\frac{A}{B}\tg{x}) + C$

[ewert]

Guliashik в сообщении #1119789 писал(а):

Сама первообразная $\frac{1}{AB}\arctg(\frac{A}{B}\tg{x}) + C$

Это не совсем так: для первообразной в целом на разных промежутках добавляются разные константы.

[gris]

Это не совсем так: константы все могут быть одинаковыми. Хотя даже в целом это невозможно определить. В смысле, что если считать константы целыми, и надо найти вероятность того, что они все разные. Это праздничная шутка такая А вы уже разговелись на шашлыках?

[ewert]

gris в сообщении #1119806 писал(а):

Это не совсем так: константы все могут быть одинаковыми.

Все -- не могут: первообразная монотонна.

[gris]

Ой. Я функцию не рассмотрел. Прошу прощения .

[Guliashik]

ewert в сообщении #1119797 писал(а):

Это не совсем так: для первообразной в целом на разных промежутках добавляются разные константы.

Не понимаю, почему они должны быть разными на разных промежутках. Ведь как ни крути а производная то одна и та же. И совсем не понимаю, какое отношение это имеет к вопросу. Не могли бы вы чуть подробнее объяснить?

[svv]

Попробуйте разрешить такой парадокс. При ненулевых $A, B$ функция $f(x)=\frac 1{A^{2}\sin^2 x + B^2\cos^2 x}$ всюду больше нуля. Более того, существует такое $c>0$, что $f(x)\geqslant c$ всюду. Поэтому первообразная должна быть строго возрастающей. А она периодическая. Как она «выкручивается»? Разберётесь — поймёте всё.

[ewert]

Guliashik в сообщении #1119789 писал(а):

Почему в учебнике обходятся нахождением первообразной область определения которой промежутки, где $\cos(x) \ne 0$?

Потому, что только на таких промежутках работает эта замена. Если заменять на котангенс, то и промежутки будут другими. В любом случае: первообразная для одного из этих промежутков изначально никак не связана с первообразной для соседнего. Т.е. никак не связаны входящие в них произвольные постоянные. Однако эти константы можно согласовать между собой так, чтобы каждая такая первообразная непрерывно переходила в соседние. Это и будет общая первообразная для всей оси.

Фихтенгольц об этом не говорит просто потому, что его на тот момент волнует лишь техника интегрирования.

[Guliashik]

Верно ли я понимаю, что первообразной будет, например, $\frac{1}{AB}\arctg(\frac{A}{B}\tg{x}) + \lceil{\frac{x+\pi/2}{\pi}}\rceil \frac{\pi}{AB}$, при этом надо устранить разрывы там где $\cos(x)=0$?

[ewert]

Не вникал, но что-то типа. Разрывы же на границах самоустранятся по непрерывности.

[Guliashik]

Спасибо!

[gris]

Мне нравится частный случай: $\int dx=\int \dfrac {dx}{\sin^2 x+\cos^2x}=\arctg(\tg x)+C$, где $C$ тоже как бы кусочно постоянная. Если $C$ считать нулём, то получим очень удобную первообразную. Вообще любую первообразную можно порезать на не слишком маленькие кусочки и двигать их вверх-вниз для удобства использования.

[svv]

Так как сама функция $\frac{1}{A^{2}\sin^2(x) + B^2\cos^2(x)}$ ведёт себя нормально в точках, где $\cos x=0$, возникает вопрос, нет ли у неё какой-нибудь другой первообразной, которая там была бы непрерывна? Действительно, такая есть:
$\frac{1}{AB}\arcctg(\frac{B}{A}\ctg{x}) + C$
А разрывна она в точках, где $\sin x=0$.
С помощью обеих первообразных можно устроить «цепное дыхание»: пока одна «поёт», другая меняет константу.

[ewert]

svv в сообщении #1120141 писал(а):

С помощью обеих первообразных можно устроить «цепное дыхание»: пока одна «поёт», другая меняет константу.

Безусловно так и нужно делать, но -- в вычислительных задачах (при программировании этой функции). В теории же лучше оставить просто тангенс.