Как решить численно уравнение?

[schekn]

Решая одну задачу полчил уравнение типа (1) (постоянные опустил).
Мне нужно понять , как найти в первом-втором приближении решение уравнений с начальными данными.

$$\frac{dr}{dR}=\sqrt{r}\sqrt{R}-{\alpha}\frac{R^2}{r}\quad(1)$$

Параметр ${\alpha}>0$
1. Как мне найти решение в первом приближении?
2. Начальные данные в предельном случае: $R=1$, $r=0$ . Пройдет ли кривая через $R=0$ ?
3. Начальные данные $R=1$ , $r=b>0$. Пройдет ли кривая через $R=0$ ?

[mihiv]

schekn в сообщении #1119538 писал(а):

2. Начальные данные в предельном случае: $R=1$, $r=0$ . Пройдет ли кривая через $R=0$ ?

При $R$ близких к единице можно пренебречь первым слагаемым в правой части. После интегрирования получим:

$$r^2(R)\approx \frac 23\alpha (1-R^3)$$

.

[schekn]

mihiv в сообщении #1119585 писал(а):

schekn в сообщении #1119538 писал(а):

2. Начальные данные в предельном случае: $R=1$, $r=0$ . Пройдет ли кривая через $R=0$ ?

При $R$ близких к единице можно пренебречь первым слагаемым в правой части. После интегрирования получим:

$$r^2(R)\approx \frac 23\alpha (1-R^3)$$

.

это будет решением уравнения в первом приближении?
То есть линия проходит через одну из точек $ r=\pm\sqrt{2\alpha/3}$, $R=0$ ?

[mihiv]

Для $R$ близких к единице, да. Но, конечно, вряд ли по первому приближению можно достаточно точно судить о том, что будет при $R=0$. Можно попробовать второе приближение.

[schekn]

mihiv в сообщении #1119603 писал(а):

Для $R$ близких к единице, да. Но, конечно, вряд ли по первому приближению можно достаточно точно судить о том, что будет при $R=0$. Можно попробовать второе приближение.

Мне пока непонятен алгоритм нахождения и второго приближения.
И что делать, если начальные данные $R=1$ и $r={\alpha}^{2/3}$ (например).

[mihiv]

Перепишем уравнение в виде:

$$rr'=r^{\frac 32}\sqrt R-\alpha R^2$$

Проинтегрируем от 1 до $R$, в результате получим:

$$r^2(R)=2\int \limits ^R_1r^{\frac 32}(x)\sqrt {x}dx-\frac 23\alpha (1-R^3)\qquad (1)$$

Последовательные приближения можно организовать так:

$$r_{n+1}^2(R)=2\int \limits ^R_1r_n^{\frac 32}(x)\sqrt {x}dx-\frac 23\alpha (1-R^3)$$

Уравнение (1), кстати, похоже на уравнение Вольтерра.

[Vince Diesel]

Замена $r(x)=u^2(x^{3/2})$, $y=x^{3/2}$, избавляет от корней: $3u'=1-\alpha y/u^3$. Можно попробовать решать разложением в ряд.

[schekn]

mihiv в сообщении #1119757 писал(а):

Последовательные приближения можно организовать так:

$$r_{n+1}^2(R)=2\int \limits ^R_1r_n^{\frac 32}(x)\sqrt {x}dx-\frac 23\alpha (1-R^3)$$

Это уже более понятно, но если подставить первое приближение, то $r_1=\pn(2/3{\alpha})^{1/2}(1-R^3)^{1/2} $
То первый интеграл не берется.

-- 01.05.2016, 13:27 --

Vince Diesel в сообщении #1119765 писал(а):

Замена $r(x)=u^2(x^{3/2})$, $y=x^{3/2}$, избавляет от корней: $3u'=1-\alpha y/u^3$. Можно попробовать решать разложением в ряд.

Тут я что-то не сообразил, где именно делать замену.

[Vince Diesel]

В исходном уравнении. Подставьте туда вместо $r(x)$ то, что в правой части.

[mihiv]

schekn в сообщении #1119801 писал(а):

Это уже более понятно, но если подставить первое приближение, то $r_1=\pn(2/3{\alpha})^{1/2}(1-R^3)^{1/2} $
То первый интеграл не берется.

Но можно найти, например, значение второго приближения при $R$ равном нулю :

$$r^2_2(0)=\frac 23\alpha -2\left (\frac 23\alpha \right )^{\frac 34}C\qquad (1)$$

где $C=\int \limits _0^1(1-x^3)\sqrt {x}dx\approx 0.479256$
Из (1) получим, что $r^2_2(0)=0$ при $\alpha _0=72C^4\approx 3.8$

[schekn]

mihiv
Я разобрался со своим мат-пакетом и решил задачу графически методом Рунге-Кутта.
Переписал уравнение:

$$r\frac{dr}{dR}=r^{3/2}\sqrt{R}-{\alpha}R^2$$

Заменил $r^2=y$

$$\frac{dy}{dR}=2y^{3/4}\sqrt{R}-2{\alpha}R^2$$

С начальными данными $r=0$ ,$ R=1$ и $\alpha=0.2$
получил такой график.