Доказать неравенство

[sergei1961]

Сложим данное неравенство с неравенством Шапиро:

$$ \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\ge 2. $$

Получим

$$ \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{c+d}+\frac{c+d}{d+a}+\frac{a+d}{a+b}\ge 3 +4\mathtext{root}. $$

По AG левая часть $\ge 4$. Надо тогда показать

$$ 1\ge 4\mathtext{root}, $$

что после возведения в квадрат и 4 AG очевидно.

С неравенством arqady всё получается по той же схеме, в конце два AG к суммам по 4 слагаемых.

[arqady]

По той же схеме докажем, что $1>2$.
Сложим его с довольно известным $2>0$ и получим $3>2$, что, по-видимому, как-то уже можно доказать.

[sergei1961]

Когда писал-казалось, что всё обращается назад. Получилась глупость, приношу извинения.