неравенство 3(а)

[waxtep]

TR63 в сообщении #1119434 писал(а):

надо добавить условие $a+c\le4$. Тогда минимум достигается в точке $b=\min (a, \frac {(4-a-c)^2} {ac})=a$

Но ведь $a+c$ уже гарантированно не больше $4$ при условиях $0\le b\le a\le c$, $4-a-c-\sqrt{abc}\ge0$; тем не менее, не всегда из этого следует, что $\min (a, \frac {(4-a-c)^2} {ac})=a$

[TR63]

waxtep в сообщении #1119492 писал(а):

Но ведь $a+c$ уже гарантированно не больше $4$

Согласна, это условие лишнее и решения для всей области не получается. Спасибо за реальную помощь.

[TR63]

Тогда попробуем решить простым возведением в квадрат обеих частей неравенства с учётом их пложительности, предварительно перенеся третье слагаемое в правую часть
$a+b+c+\sqrt{abc}=4$. (a,b,c)- неотрицательны.

$\sqrt{24a+25}+\sqrt{24(4-a-c-\sqrt{abc})+25}+\sqrt{24c+25}\ge21$

$(2\sqrt{(24a+25)[24(4-a-c-\sqrt{abc})+25}])^2\ge\{\{(21-\sqrt{24c+25})^2-146+24c\}+24\sqrt{abc}\}^2$

Относительно переменной (b) получается квадратное неравенство, которое должно быть не положительно. Можно воспользоваться свойством для такого неравенства: если оно не положительно в двух точках, то не положительно и между ними. Т.е. достаточно исследовать исходное неравенство при $b=0$ и $b=a$. А, это уже значительно проще и частично проделано ранее.