Шар, касающийся выпуклой поверхности

[sergei1961]

Дана выпуклая поверхность $z=f(x,y)$, в одной точке её касается шар, или сфера (не знаю, как точнее), в том смысле что в этой точке у них общая касательная плоскость. Верно ли, что шар лежит целиком выше/ниже заданной поверхности, то есть других точек пересечения у них нет?
Конкретно даже интересует такой пример: поверхность $z=1/(xy)$, шар $(x-3/2)^2+(y-3/2)^2+(z-3/2)^2=3/4$,
переменные положительны $x,y,z>0$. На рисунке видно, что шар лежит над поверхностью, они касаются в единственной точке $(1,1,1)$. Вычисление производных показывает, что эта поверхность выпуклая. Можно отсюда показать, что других пересечений поверхности и шара нет?
Вопрос возник в связи с неравенством из темы topic106575.html

[gris]

Исключительно по первым двум предложениям. Параболоид вращения стоит вершиной на плоскости. И достаточно большая сфера стоит на той же плоскости в ту же сторону, касаясь в той же точке.
Если же это "внешнее" касание, когда выпуклые поверхности лежат по разные стороны от плоскости, то, конечно, они больше нигде не пересекаются.

[sergei1961]

Я понял, что как сформулировано в общем виде это неправильно. Можно ещё шарик в конус завернуть. Но для данного примера, который и интересует, можно доказать нужный факт с использованием выпуклости поверхности? Ещё раз-там конкретная поверхность третьего порядка и конкретный шарик.

[ewert]

sergei1961 в сообщении #1112646 писал(а):

Но для данного примера, который и интересует, можно доказать нужный факт с использованием выпуклости поверхности?

Нет, нельзя. Выпуклая-то она выпуклая, но вот на больших расстояниях мало отличается от трёхгранного координатного угла. Соответственно и шарик достаточно большого радиуса может касаться её как минимум в трёх точках. А велик тот радиус или нет -- из общих соображений никак не следует.

[sergei1961]

ewert - ясно, что если кривизна шарика большая, то есть он маленький, то он не касается выпуклой поверхности ещё, кроме точек касания. Если шарик большой=кривизна маленькая-то может касаться. Геометрически кажется, что должны быть оценки вида: если размер шарика меньше A, где А - оценка, зависящая от кривизны поверхности в точке касания, то касание единственно. Не правдоподобно?

[svv]

Простите, что это не ответ именно на Ваш вопрос.
Я бы искал экстремумы функции $xyz$ на Вашей сфере. Если найдутся точки экстремума, не лежащие на прямой $x=y=z$, в которых $xyz\leqslant 1$ — плохо. Иначе хорошо.