Записать дифференциальное уравнение для электрической цепи

[R0stislav]

Добрый вечер, уважаемые пользователи!
Возникла проблема с составлением дифференциального уравнения к следующей картинке:

Начну с того, что точно знаю:
$i=i_1+i_2$
__________________________
$Uout=Uc_1=\frac{1}{c}\int\limits_{}^{}i_2(t)dt$
__________________________
$U_R_2=U_R_1+U_c_1$
__________________________
$Uin=U_c_2+U_R_2=U_c_2+U_R_1+U_c_1$
__________________________
$i=i_c_2=C_2\frac{dUc_2}{dt}$
__________________________
$i_1=\frac{U_R_2}{R_2}$
__________________________
$i_2=C_1\frac{dUc_1}{dt}+\frac{UR_1}{R_1}$
__________________________
Вопрос: Так как в итоге я хочу получить передаточную функцию $W(p)=\frac{Uout(p)}{Uin(p)}$ мне надо выразить $Uout$ и $Uin$ сначала во временной области через дифуры, а потом перейти к операторной форме. Но только непонятно, как выразить $U_R_1$ и $U_R_2$.
Заранее благодарен!

[AnatolyBa]

А почему так? Зачем писать дифференциальные уравнения?
В операторном методе сразу пишут закон Ома в операторной форме $U=Z(p)I$.
Для сопротивления $Z_R(p)=R $ , для емкости $Z_C(p)=\frac{1}{pC} $. Далее простая алгебра.
И еще - вы полагаете ток на выходе нулевой, т.е. нагрузки фактически нет?
Если это не так, нужно учитывать сопротивление наагрузки.

[R0stislav]

Четырехполюсник пассивный, нагрузки нет, она не нужна для решения задачи. Можно смотреть на задачу как на какой-либо блок с передаточной функцией, который может существовать в САУ.
Через отношение операторных сопротивлений я решил, надо именно решить в стандартной форме через дифур.
$W(p)=\frac{Zout(p)}{Zin(p)}=\frac{R_2||(R_1+\frac{1}{pC_1})}{\frac{1}{pC_2}+Zout}=\frac{pT_2(T_1p+1)}{T_1T_2p^2+p(T_1+T_2+kT_2)+1}$, где $T_1=R_1C_1$, $T_2=R_2C_2$, $k=\frac{C_1}{C_2}$
Задача из курса теории автоматического управления

[AnatolyBa]

По моему в операторном решении у вас ошибка, нужно еще домножить на $\frac{\frac{1}{pC_1}}{R_1+\frac{1}{pC_1}}$
В первом сообщении ошибка в последнем уравнении.
Стратегию решения я предлагаю следующую. Выразите все через $U_{out}$ по цепочке
$U_{out}$->$i_2$->$U_{R_2}$->$i_1$->$i$->$U_{in}$

[R0stislav]

$i_2=\frac{U_R_1}{R_1}+C_1\frac{dUc_1}{dt}$ - Если Вы про это уравнение, то поясните, будьте добры. Или $\frac{U_R_1}{R_1}$ тут лишнее?
______________________________________________________

$Zout(p)=\frac{R_2(pR_1C_1+1)}{pR_1C_1+pC_1R_2+1}$
______________________________________________________
$Zin(p)=\frac{1}{pC_2}+Zout(p)=\frac{1}{pC_2}+\frac{R_2(pR_1C_1+1)}{pR_1C_1+pC_1R_2+1}=\frac{pR_1C_1+pC_1R_2+1+pC_2R_2(pC_1R_1+1)}{pC_2(pC_1R_1+pC_1R_2+1)}$
______________________________________________________
$W(p)=\frac{R_2(pR_1C_1+1)}{pR_1C_1+pC_1R_2+1}\cdot\frac{pC_2(pC_1R_1+pC_1R_2+1)}{pR_1C_1+pC_1R_2+1+pC_2R_2(pC_1R_1+1)}=\frac{pC_2R_2(pC_1R_1+1)}{pR_1C_1+pC_1R_2+1+pC_2R_2(pC_1R_1+1)}$
______________________________________________________
Ошибки не вижу.

Походу писанины пришли мысли:
$Uout=Uc_1=\frac{1}{c}\int\limits_{}^{}i_2(t)dt$
______________________________________________________
Выразим $i_2: i_2(t)=C_1\frac{dUout(t)}{dt}$ - нам стал известен ток на выходе.
______________________________________________________
$i_1=\frac{U_R_2}{R_2}=\frac{U_R_1+U_c_1}{R_2}=\frac{i_2R_1+\frac{1}{C_1}\int\limits_{}^{}i_2(t)dt}{R_2}$
______________________________________________________
$i=i_1+i_2=i_2(\frac{R_1}{R_2}+1)+\frac{1}{R_2C_1}\int\limits_{}^{}i_2(t)dt$, теперь выразим входной ток $i$ через $i_2$:
______________________________________________________
$i=C_1\frac{dUout}{dt}(\frac{R_1+R_2}{R_2})+\frac{1}{R_2}\int\limits_{}^{}\frac{dUout}{dt}dt$, но тогда как раскрывается и что значит $\int\limits_{}^{}\frac{dUout}{dt}dt$?
Жду с нетерпением Ваших ответов.

[AnatolyBa]

R0stislav в сообщении #1119298 писал(а):

Или $\frac{U_R_1}{R_1}$ тут лишнее

Да.
По операторному решению
Если вы определили $W(p)=\frac{Uout(p)}{Uin(p)}$ , то это не будет равно $\frac{Z_{out}(p)}{Z_{in}(p)}$
(я не понимаю смысл $Z_{out}$, судя по формуле это сопротивление куска включающего $R_1$ $R_2$ $C_1$, как он видится с левой стороны).
По уравнениям.
Лучше так (т. к мы хотим все выразить через $U_{out}$)
$i_1=\frac{i_2 R_1 + U_{out}}{R_2}=\frac{C_1 R_1}{R_2}\dfrac{d U_{out}}{dt}+\frac{U_{out}}{R_2}$
$i=C_1 (\frac{R_1}{R_2}+1)\dfrac{d U_{out}}{dt}+\frac{U_{out}}{R_2}$
Далее продолжайте

[R0stislav]

Вроде получилось, привожу решение:
$i_2=C_1\frac{dUout}{dt}$
______________________________________
$i_1=\frac{i_2 R_1 + U_{out}}{R_2}=\frac{C_1 R_1}{R_2}\dfrac{d U_{out}}{dt}+\frac{U_{out}}{R_2}$
______________________________________
$i=C_1 (\frac{R_1}{R_2}+1)\dfrac{d U_{out}}{dt}+\frac{U_{out}}{R_2}$
______________________________________
$U_c_2+U_R_2=Uin$
______________________________________
$\frac{1}{C_2}\int\limits_{}^{}i(t)dt+i_1(t)R_2=Uin$ , продифференцируем, чтобы избавиться от интеграла
______________________________________
$\frac{1}{C_2}i(t)+R_2\frac{d(C_1R_1\frac{dUout}{dt}+Uout)}{dt}=\frac{dUin}{dt}$
______________________________________
$\frac{1}{C_2}(C_1 (\frac{R_1}{R_2}+1)\dfrac{d U_{out}}{dt}+\frac{U_{out}}{R_2})+R_2C_1R_1\frac{d^2Uout}{dt^2}+R_2\frac{dUout}{dt}=\frac{dUin}{dt}$
И наконец дифференциальное уравнение в стандартной форме где $T_1=R_1C_1$, $T_2=R_2C_2$, $k=\frac{C_1}{C_2}$:
$R_2T_1\frac{d^2Uout}{dt^2}+(\frac{T_1}{T_2}+\frac{C_1}{C_2}+R_2)\frac{dUout}{dt}+\frac{1}{T_2}Uout=\frac{dUin}{dt}$
Перейдем к операторной форме записи:
$R_2T_1p^2Uout(p)+\frac{T_1C_2+C_1T_2+T_2^2}{T_2C_2}pUout(p)+\frac{1}{T_2}Uout(p)=pUin(p)$
______________________________________
$Uout(p)(T_2^2T_1p^2+(T_2^2+T_1C_2+C_1T_2)p+C_2)=Uin(p)pT_2C_2$
______________________________________
$W(p)=\frac{Uout(p)}{Uin(p)}=\frac{Uin(p)pT_2C_2}{Uin(p)(T_2^2T_1p^2+(T_2^2+T_1C_2+C_1T_2)p+C_2)}=\frac{pT_2C_2}{(T_2^2T_1p^2+(T_2^2+T_1C_2+C_1T_2)p+C_2)}$

Что, правда, не соответствует моему решению через операторные сопротивления.
Да, я подумал что $Zout(p)$ это есть 3 блока $R_1$ $R_2$ $C_1$.

[AnatolyBa]

Ну чтож. У вас там арифметическая ошибка ближе к началу. Посмотрите на размерность разных членов.
А с операторным решением должно совпасть - если учтете мою поправку

[Munin]

Всё-таки для меня это великая загадка: исчисление операционное, а решение операторное.

Причём с настоящими операторами, как они понимаются во всей остальной математике, слово "оператор" совпадает только по случайному совпадению. Реально оказалось, что $p$ - никакой не оператор, а просто комплексная переменная.

[AnatolyBa]

Каюсь, в терминологии небрежен.
Но, кажется, отцы основатели/авторы учебников (электротехники, не математики) проявили ту же небрежность

[Munin]

Да нет, к вам-то претензий никаких. В учебниках так же.

И я так понимаю, Хевисайд творил в те годы, когда ещё современной терминологии не устоялось, и кроме того, в других разделах математики и в другом смысле - $\dfrac{d}{dt}$ действительно считается оператором, от него вычисляется $\Bigl(\dfrac{d}{dt}\Bigr)^{-1},$ и прочее...

[R0stislav]

Анатолий, признателен Вам!
Ошибку нашел : В части $\frac{1}{C_2}i(t)+R_2\frac{d(C_1R_1\frac{dUout}{dt}+Uout)}{dt}=\frac{dUin}{dt}$ забыл поделить на $R_2$, и в итоге $U_R_2=\frac{T_1d^2Uout}{dt^2}+\frac{dUout}{dt}$
И в конце на основании исправленного:
$W(p)=\frac{Uout(p)}{Uin(p)}=\frac{pT_2}{(T_1T_2p^2+(T_1+T_2+KT_2)p+1)}, где $K=\frac{C_1}{C_2}$

Прошу Вас, можете помочь с видом записи последовательного/параллельного соединения при нахождении передаточной функции через операторы, то есть соединение операторных сопротивлений на входе и выходе. Возможно я путаю соединение элементов на выходе.

[AnatolyBa]

В принципе, я уже писал, но поясню.
$Z_{in}$ это понятно, это вы посчитали правильно.
$Z_{out}$ это непонятно, но не будем менять обозначение, у вас это сопротивление куска включающего $R_1$ $R_2$ $C_1$, как он видится с левой стороны.
Получается делитель напряжения и $\frac{U_{R_2}}{U_{in}}=\frac{Z_{out}}{Z_{in}}$. Далее $R_1$ $C_1$ также образуют делитель напряжения и $\frac{U_{out}}{U_{R_2}}=\frac{\frac{1}{p C_1}}{\frac{1}{p C_1}+R_1}=\frac{1}{1+p T_1}$
Объединяем и получаем
$\frac{U_{out}}{U_{in}}=\frac{p T_2}{p^2 T_1 T_2 +p T_1 +p T_2 + p C_1 R_2 +1}$

[R0stislav]

Анатолий, премного Вам благодарен, решения сошлись.